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| Aufgabe | | Multiplizieren sie [mm] (cos(x)+i*sin(x))^n [/mm] für n=2,3,4 aus und vergleichen sie dei realteile ind imaginärteile mit denen aus der formel von de movire ... |
also die Formel von de moivre ist ja [mm] (cos(x)+i*sin(x))^n [/mm] = cos (nx) +isin(nx)
wenn ich die aufgabenstellung ausmulti.
bekomme ich bei n=2 ja
[mm] Cos^2(x)+2*cos(x)*isin(x)+isin^2(x) [/mm] kann ich das so ausmultiplizeiren oder geht das nicht bei komplexen Zahlen ????
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Hallo Foszwoelf,
> Multiplizieren sie [mm](cos(x)+i*sin(x))^n[/mm] für n=2,3,4 aus und
> vergleichen sie dei realteile ind imaginärteile mit denen
> aus der formel von de movire ...
> also die Formel von de moivre ist ja [mm](cos(x)+i*sin(x))^n[/mm] =
> cos (nx) +isin(nx)
>
> wenn ich die aufgabenstellung ausmulti.
>
> bekomme ich bei n=2 ja
>
> [mm]Cos^2(x)+2*cos(x)*isin(x)+isin^2(x)[/mm] kann ich das so
Hier muss doch stehen:
[mm]Cos^2(x)+2*cos(x)*isin(x)+\blue{i^{2}}sin^2(x)[/mm]
> ausmultiplizeiren oder geht das nicht bei komplexen Zahlen
> ????
Das kannst Du so ausmultiplizieren.
Gruss
MathePower
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oh hoppla stimmt
und nun einfach mit der de moivre vergleichen oder was ??
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Hallo Foszwoelf,
> oh hoppla stimmt
>
> und nun einfach mit der de moivre vergleichen oder was ??
Ja.
Gruss
MathePower
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irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch was hier der Realteil und was der imaginärtiel ist ???
also bei der de moivre ; Real= cos(2x) imag= isin(2x)
und bei der ausmultiplizierten ??
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Hallo Foszwoelf,
> irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch was hier der
> Realteil und was der imaginärtiel ist ???
>
> also bei der de moivre ; Real= cos(2x) imag= isin(2x)
>
Der Imaginärteil hier [mm]\sin\left(2x\right)[/mm]
> und bei der ausmultiplizierten ??
Real=[mm]\cos^{2}\left(x\right)-\sin^{2}\left(x\right)[/mm]
Imag=[mm]2*\sin}\left(x\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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für was jetzt ???
und was ist der realteil ??
waren die von mir geschrieben sachen richtig??
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Hallo,
> für was jetzt ???
> und was ist der realteil ??
>
> waren die von mir geschrieben sachen richtig??
Nein, du hattest einen komplexen Imaginärteil, der muss aber reell sein.
Und gem. Additionstheoremen ist doch [mm] $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ [/mm] und [mm] $\cos(2x)=...$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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schuldigung aber ich kapier hier gar nichts habe bis vor heute nuoch nie was von komplexen zaheln gehört !!! :-(
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Hallo nochmal,
> schuldigung aber ich kapier hier gar nichts habe bis vor
> heute nuoch nie was von komplexen zaheln gehört !!! :-(
Na, für [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]z=x+i\cdot{}y[/mm] ([mm]x,y\in\IR[/mm]) gilt doch nach Definition:
[mm]\operatorname{Re}(z)=x\in\IR[/mm] und [mm]\operatorname{Im}(z)=y\in\IR[/mm]
Und deine durch Ausmultiplizieren erhaltenen Real- und Imaginärteile, also [mm]\cos^2(x)-\sin^2(x)[/mm] und [mm]2\sin(x)\cos(x)[/mm] kannst du mit den stadtbekannten Additionstheoremen in den Real- und Imaginärteil gem. Moivre überführen ...
Gruß
schachuzipus
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wie soll ich das überführen as soll ich da addieren ???
sorry für meine ahnungslosigkeit
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Hallo nochmal,
das ist keine Ahnungslosigkeit sondern "null Bock" bzw. überhaupt keine Geduld ..
Du solltest mehr als 2 min über ne Antwort nachdenken.
Gerade wenn das Thema neu ist.
So wird das nix und führt zu Verdruss auf beiden Seiten.
Ich fasse für dich zusammen, was im thread steht:
Du hast durch Ausmultiplizieren erhalten:
[mm](\cos(x)+i\sin(x))^2=\cos^2(x)-\sin^2(x)+i\cdot{}2\sin(x)\cos(x)[/mm]
Also Realteil=[mm]\cos^2(x)-\sin^2(x)[/mm] und Imaginärteil=[mm]2\sin(x)\cos(x)[/mm]
Nun schaue die Additionstheoreme nach und berechne für den Realteil gem. de Moivre, also [mm]\cos(2x)[/mm], mal [mm]\cos(2x)=\cos(x+x)=...[/mm] und du wirst feststellen, dass da genau der Realteil herauskommt, den du durch das Ausmult. erhalten hast.
Genauso [mm]\sin(2x)=\sin(x+x)=...[/mm] ergibt den Imaginärteil von oben ...
Gruß
schachuzipus
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$ [mm] (\cos(x)+i\sin(x))^2=\cos^2(x)-\sin^2(x)+i\cdot{}2\sin(x)\cos(x) [/mm] $
den teil verstehe ich nicht wenn ich
[mm] (cos(x)+isin(x))^2 [/mm] ausmultipli....
bekomme ich doch [mm] cos^2(x)+2*cos(x)*isin(x)+i^2*sin^2(x) [/mm] raus oder ????
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Hallo Foszwoelf,
>
> [mm](\cos(x)+i\sin(x))^2=\cos^2(x)-\sin^2(x)+i\cdot{}2\sin(x)\cos(x)[/mm]
>
> den teil verstehe ich nicht wenn ich
>
> [mm](cos(x)+isin(x))^2[/mm] ausmultipli....
>
> bekomme ich doch [mm]cos^2(x)+2*cos(x)*isin(x)+i^2*sin^2(x)[/mm]
> raus oder ????
Ja, und per Definition ist [mm]i^{2}=-1[/mm]
Gruss
MathePower
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Nun schaue die Additionstheoreme nach und berechne für den Realteil gem. de Moivre, also $ [mm] \cos(2x) [/mm] $, mal $ [mm] \cos(2x)=\cos(x+x)=... [/mm] $ und du wirst feststellen, dass da genau der Realteil herauskommt, den du durch das Ausmult. erhalten hast.
Genauso $ [mm] \sin(2x)=\sin(x+x)=... [/mm] $ ergibt den Imaginärteil von oben ...
okay bis dahon istr es klar muss ich nun
cos(2x) * cos (2x)= (cos x+x) ????? will es verstehen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mo 17.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
in dermoivre Formel steht cos2x und sin2x
die sollst du umformen, so dass nur noch sinx und cosx vorkommen wie in deiner ausquadrierten summe.
(oder du kennst die Additionstehoreme für sin und cos so gut, dass du erkennst wie man sinxcosx mit sin2x vergleichen kann)
Wenn du einfach tätest, was man dir sagt, nämlich cos(x+x) und sin(x+x mal hinschreiben, müsstest du nicht mehr fragen sondern würdest den sinn davon einfach verstehen!
Gruss leduart
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also habe es mittlerweile gelöst 
soll es nun auch für n= 3 beweisen
die Aufgabe mit ^3 ausmultipliziert ist gleich (unter der tatsache [mm] i^2=-1)
[/mm]
[mm] cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)+ i*3*cos^2(x)*sin(x)-i*sin^3(x)
[/mm]
re(x)= [mm] cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)
[/mm]
[mm] im(x)=3*cos^2(x)*sin(x)-sin^3(x)
[/mm]
soweit okay ??ß
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Hallo Foszwoelf,
> also habe es mittlerweile gelöst
>
> soll es nun auch für n= 3 beweisen
>
> die Aufgabe mit ^3 ausmultipliziert ist gleich (unter der
> tatsache [mm]i^2=-1)[/mm]
>
>
> [mm]cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)+ i*3*cos^2(x)*sin(x)-i*sin^3(x)[/mm]
>
> re(x)= [mm]cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)[/mm]
>
> [mm]im(x)=3*cos^2(x)*sin(x)-sin^3(x)[/mm]
>
>
> soweit okay ??ß
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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nun habe ich ja
die bedingung das re(X)= [mm] cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x) [/mm] <=> cos(3x)
aber wie kann ich die additionstheorme auf diesen Teil anwenden habe keine idee mehr ???
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Hallo Foszwoelf,
> nun habe ich ja
>
> die bedingung das re(X)= [mm]cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)[/mm] <=>
> cos(3x)
>
>
> aber wie kann ich die additionstheorme auf diesen Teil
> anwenden habe keine idee mehr ???
1. Schritt:
[mm]\cos\left(3x\right)=\cos\left(2x+x\right)=\cos\left(2x\right)*\cos\left(x\right)-\sin\left(2x\right)*\sin\left(x\right)[/mm]
Wende nun die Addiotionstheoreme für [mm]\sin\left(2x\right)[/mm] und [mm]\cos\left(2x\right)[/mm] an.
Gruss
MathePower
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[mm] \cos\left(2x+x\right)=\cos\left(2x\right)\cdot{}\cos\left(x\right)-\sin\left(2x\right)\cdot{}\sin\left(x\right) [/mm] $
wie kommt der teil zu stande ?? genauer gesagt das nach dem minus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Di 18.10.2011 | | Autor: | Foszwoelf |
hab es gesehen Stopp
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Hallo nochmal,
>
> [mm]\cos\left(2x+x\right)=\cos\left(2x\right)\cdot{}\cos\left(x\right)-\sin\left(2x\right)\cdot{}\sin\left(x\right)[/mm]
> $
>
> wie kommt der teil zu stande ?? genauer gesagt das nach dem
> minus
Nun halte dich fest!
Es wird dich bestimmt sehr sehr überraschen, weil es noch überhaupt gar nicht drankam in dieser Diskussion, aber es sind tatsächlich die Additionstheoreme.
Kaum zu glauben, fast ein Wunder, aber wahr.
Wer hätte das für möglich gehalten?
Ich hatte schon 37 Mal empfohlen, dass du dir die Additionstheoreme mal anschaust.
Offenbar ist nix in der Richtung passiert.
Das ist sehr schade!
Wie hast du denn dann das mit der Potenz 2 gelöst?
Für den Kosinus gibt es ein ganz tolles Additionstheorem:
[mm]\cos(a+b)=\cos(a)\cdot{}\cos(b)-\sin(a)\cdot{}\sin(b)[/mm]
Mit [mm]a=2x[/mm] und [mm]b=x[/mm] gilt was?
Echt, so langsam ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Di 18.10.2011 | | Autor: | Foszwoelf |
ja habe doch zwischen zeitlich geschrieben
manchmal sieht man vor leuter bäumen den Wald nicht
[mm] cos^2(x)-sin^2(x)*cos(x)-2*sin(x)*cos(x)*sin(x) [/mm] soweit oka y
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nun
cos(3x)= cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)
[mm] =cos^2(x)-sin^2(x)*cos(x)-2*sin(x)+cos(x)*sin(x)
[/mm]
cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)
= cos 3x
ich verstehe nur die beweisführung nicht so ganz wir beginnen mit cos(3x)
und kommen da auch wieder raus
ich hatte ja raus für re(x)= [mm] cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)
[/mm]
muss ich nicht diesem Ausdruck zu Cos(3x) umformen ???ß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 18.10.2011 | | Autor: | abakus |
> nun
>
> cos(3x)= cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)
>
> [mm]=cos^2(x)-sin^2(x)*cos(x)-2*sin(x)+cos(x)*sin(x)[/mm]
>
> cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)
>
> = cos 3x
>
> ich verstehe nur die beweisführung nicht so ganz wir
> beginnen mit cos(3x)
>
> und kommen da auch wieder raus
>
> ich hatte ja raus für re(x)= [mm]cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)[/mm]
>
> muss ich nicht diesem Ausdruck zu Cos(3x) umformen ???ß
Du musst ihn nicht umformen. Er IST gleich cos(3x) !
Das ist ja der Sinn der ganzen Übung.
Wenn du eine komplexe Zahl z zu [mm] z^3 [/mm] potenzierst, ist der Realteil des Ergebnisses (je nach Herangehensweise) in der Form
[mm]cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)[/mm] und auch in der Form cos(3x) darstellbar.
Daraus folgt also, dass cos(3x)=[mm]cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x)[/mm] gilt.
Entsprechend kannst du den Realteil von [mm] z^3 [/mm] auf die eine oder andere Art angeben und erhältst so eine Formel für sin(3x)=....
Gruß Abakus
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Ich dachte ich muesste mein Ergebnis [mm] :cos^3.... [/mm] So umformen das ich am Ende auf cos(3x) komme um die formel zu beweisen ! Kann ich das nicht umformen ? Oder ist das einfach so und fertig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist so wie es Dir Abakus gesagt hat:
aus $ [mm] (cos(x)+i\cdot{}sin(x))^3 [/mm] = cos (3x) +isin(3x) $
folgt:
$ [mm] cos^3(x)-3cos(x)\cdot{}sin^2(x) [/mm] =cos(3x)$
FRED
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okay gut
sieht das ganze für n=4 dann so aus??
[mm] Re(x)=cos^4(x)+sin^4(x)-6cos^2(x)*sin^2(x) [/mm]
und das ist jetzt gleich Cos(4x)????
ist das noch zu beweisen???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Gegensatz zu meinen Kollegen denke ich du must die Umformungen mit deigen, so lautet vo [mm] mi$z=e^{i*1,5\pi+n*2\pi}$tpp®€†⁄€®† [/mm] deine aufgabe.
meine Kollegen haben eigentlich recht, man kann mit Hilfchnung nach moivre und der Berechnung von [mm] Re(z^4) [/mm] und [mm] Im(z^4) [/mm] die Additionsth. beweisen, da ja 2 verschiedene Arten etwas richtig zu berechnn nicht auf verschiedene ergebnisse führen können,
diese aufgabe soll das aber gerade Zeigen!
Dabei musst du natürlich nicht immer von vorn anfangen, wenn du bei [mm] z^2 [/mm] schon cos2x+isin2x gezeigt hast kannst du für [mm] z^3 [/mm] hinschreiben
(cos2x+isin2x)*(cosx+isinx) und dann umformen mit den additionsth. zu cos3x+isin3x
ebenso beo [mm] z^4=z^3*z
[/mm]
aber jedesmal die ATH. verwenden zum verifizieren. also cos(4x)=cos(3x+x)=...
Gruss leduart
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