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| Aufgabe | Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen Zahlenebene:
[mm] M_1=\left\{z \in \IC \left| \right \left|\bruch{1}{2}*z+1+2i\right| \ge\bruch{1}{2}\right\} [/mm] |
ich habe mir überlegt nach x oder y umzustellen für z=x+iy
und dann kann man ja einfach skizzieren
also:
[mm] \wurzel{(\bruch{1}{2}*x+1)^2 +(y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}
[/mm]
ich habe die ungleichung quadriert:
[mm] (\bruch{1}{2}*x+1)^2+(y+2)^2\ge (\bruch{1}{2})^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}x^2+x+y^2+4y+5 \ge \bruch{1}{4}
[/mm]
mal 4
[mm] x^2+4x+4y^2+16y+20 \ge [/mm] 1
ich habe dann versucht nach y umzustellen
[mm] 4y^2+16y \ge -x^2-4x-19
[/mm]
wie muss ich hier jetzt weiter machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Valerie!
> Tipp: Kreisgleichung
Hm, ich glaube das wird eher ein "schiefer" Kreis. 
Sprich: eine Ellipse.
Gruß
Loddar
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> > Tipp: Kreisgleichung
>
> Hm, ich glaube das wird eher ein "schiefer" Kreis.
> Sprich: eine Ellipse. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Moment ... da war ja eben noch der Rechenfehler,
bei dem erst verschiedene Faktoren für [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2
[/mm]
entstanden sind ... !
Gruß , Al
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ich habe eben ein Video zur Kreisgleichung gesehen. bin mir nicht sicher ob ich es richtig gemacht habe:
[mm] |\bruch{1}{2}z+1+2i|\ge\bruch{1}{2}
[/mm]
=
[mm] |z|=\wurzel{(\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}
[/mm]
ungleichung quadriert:
[mm] (\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2\ge\bruch{1}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}x^2+x+1+\bruch{1}{4}y^2+2y+4\ge\bruch{1}{4}
[/mm]
mit 4 multipliziert
= [mm] x^2+4x+y^2+8y+20\ge [/mm] 1
[mm] =x^2+4x+y^2+8y\ge [/mm] -19
jetzt die quadratische ergänzung:
[mm] (x^2+4x+4)-4+(y^2+8y+16)-16\ge [/mm] -19
[mm] =(x+2)+(y+4)\ge [/mm] 1
der mittelpunkte wäre dann M(-2, -4)
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> [mm]=(x+2)+(y+4)\ge[/mm] 1
Das gleichheitszeichen zu Beginn der zeile ist Unsinn.
Und an den Klammern fehlen die Quadrate.
> der mittelpunkte wäre dann M(-2, -4)
So stimmt es dann.
Und was beschreibt nun diese Menge in der Gauß'schen Zahlenebene? Was ist die Lösungsmenge?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Sa 02.11.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
> Und was beschreibt nun diese Menge in der Gauß'schen
> Zahlenebene? Was ist die Lösungsmenge?
>
ich leg nen zirkel auf den mittenpunkt M(-2.-4) und zeichne dann einen kreis mit dem radius 1.
die lösungsmenge ist dann alles, was sich im kreis befindet
wollte mich noch bei allen bedanken
EDIT: die lösungsmenge ist alles, was sich außerhalb des kreises befindet
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> > Und was beschreibt nun diese Menge in der Gauß'schen
> > Zahlenebene? Was ist die Lösungsmenge?
>
> ich leg nen zirkel auf den mittenpunkt M(-2.-4) und zeichne
> dann einen kreis mit dem radius 1.
>
> die lösungsmenge ist dann alles, was sich im kreis
> befindet ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das hätten wir als Lösungsmenge, falls in der
Ungleichung ein "<" Zeichen stünde. Da steht
aber ein [mm] "\ge" [/mm] , also das exakte Gegenteil.
Die Lösungsmenge besteht also aus allen Punkten
die auf der Kreislinie oder außerhalb des Kreises
liegen.
LG , Al-Chw.
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> ich habe eben ein Video zur Kreisgleichung gesehen. bin mir
> nicht sicher ob ich es richtig gemacht habe:
>
> [mm]|\bruch{1}{2}z+1+2i|\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>
> =
>
> [mm]|z|=\wurzel{(\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>
> ungleichung quadriert:
>
>
> [mm](\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2\ge\bruch{1}{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die allgemeine Kreisgleichung lautet:
[mm] $R^2=(x-x_M)^2+(y-y_M)^2$
[/mm]
Wobei der Radius des Kreises gleich "R" ist und der Mittelpunkt [mm] $(x_M|y_M)$
[/mm]
Aus deiner Darstellung kannst du also bereits die Lösung ablesen, wenn du auf der linken Seite einfach den Koeffizienten [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] vor x und y ausklammerst und die Ungleichung dadurch teilst.
Allerdings solltest du es so schreiben:
[mm](\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2\ge(\bruch{1}{2})^2[/mm]
Also:
1. [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] auf linker Seite ausklammern
2. Du diesen Wert teilen
3. Kreisgleichung bedenken
Um auf Al's Lösungsvorschlag einzugehen:
Dieser vorgeschlagene Weg ist bei deiner Aufgabe wesentlich eleganter!
Du musst nur die den Grundgedanken der Betragsfunktion aufgreifen:
$|x-a|$ bezeichnet den Abstand einer Zahl x zur Zahl a.
Auf deine Aufgabe angewendet (Ich habe die Ungleichung vorher mit 2 multipliziert) folgt:
$|z+2+4i|=|z-(-2-4i)|>=1$
Also: Der Abstand einer komplexen Zahl zur Zahl $(-2-4i)$ soll größer oder gleich 1 sein.
Valerie
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> Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen
> Zahlenebene:
>
> [mm]M_1=\left\{z \in \IC \left| \right \left|\bruch{1}{2}*z+1+2i\right| \ge\bruch{1}{2}\right\}[/mm]
>
> ich habe mir überlegt nach x oder y umzustellen für
> z=x+iy
>
> und dann kann man ja einfach skizzieren
>
> also:
>
> [mm]\wurzel{(\bruch{1}{2}*x+1)^2 +(y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>
> ich habe die ungleichung quadriert:
>
> [mm](\bruch{1}{2}*x+1)^2+(y+2)^2\ge (\bruch{1}{2})^2[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4}x^2+x+y^2+4y+5 \ge \bruch{1}{4}[/mm]
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> mal 4
>
> [mm]x^2+4x+4y^2+16y+20 \ge[/mm] 1
>
> ich habe dann versucht nach y umzustellen
>
> [mm]4y^2+16y \ge -x^2-4x-19[/mm]
>
> wie muss ich hier jetzt weiter machen?
Hallo,
es ist gar nicht hilfreich, die Ungleichung mittels
x und y statt mit z darzustellen.
Multipliziere die Ungleichung zuallererst mit 2 und
schreibe sie in der Form
$\ [mm] |z-m|\,\ge\, [/mm] r$
mit [mm] m\in\IC [/mm] und r>0 . Die dadurch beschriebene
Menge kann man sofort und ganz leicht geometrisch
interpretieren !
LG , Al-Chw.
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Einfacher wird es mit folgender Vorbetrachtung:
Wie sieht die Menge aller z aus, für die gilt: [mm] |z-z_0|=r?
[/mm]
So etwas kommt ganz oft vor!
[mm] z-z_0 [/mm] lässt sich als Vektor in der Gaußschen Zahlenebene zeichnen, der von [mm] z_0 [/mm] auf z zeigt. [mm] |z-z_0| [/mm] gibt die Länge dieses Vektors an, und gesucht sind alle z, bei denen diese Vektorelängen den gleichen Wert r haben. Also sind das alle z, die auf einem Kreis um [mm] z_0 [/mm] mit dem Abstand r liegen.
Du musst also die Ungleichung nur noch auf obige Form bringen:
- Multipliziere beide Seiten mit 2
- Identifiziere [mm] z_0 [/mm] und sorge zuvor dafür, dass davor ein - steht
- Identifiziere r und überlege = --> [mm] \ge
[/mm]
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