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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Sa 22.08.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{|z|=2}{\bruch{1}{cos z}dz}. [/mm] |
Die Funktion hat bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] einen singulären Punkt. Die anderen singulären Punkte intressieren uns nicht, da diese nicht im innern des Kreises |z|=2 liegen.
Dieser singuläre Punkt ist ein Pol erster Ordnung:
[mm] \limes_{z\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}}\bruch{z-\bruch{\pi}{2}}{cos z} [/mm] = -1
Dieser Wert ist endlich, also ist [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ein Pol erster Ordnung.
Das Residum in diesem Punkt lässt sich genau gleich berechen, also ist [mm] res_{\bruch{\pi}{2}}f [/mm] = -1.
Mit Hilfe des Residuensatzes erhält man
[mm] \integral_{|z|=2}{\bruch{1}{cos z}dz} [/mm] = [mm] -2\pi*i
[/mm]
Stimmt das?
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Nein, das stimmt nicht. Du hast nämlich die singuläre Stelle bei [mm]- \frac{\pi}{2}[/mm] übersehen. Ansonsten stimmt dein Vorgehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 01.09.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo
> Nein, das stimmt nicht. Du hast nämlich die singuläre
> Stelle bei [mm]- \frac{\pi}{2}[/mm] übersehen. Ansonsten stimmt
> dein Vorgehen.
Also, da das Residum bei [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] = 1 ist,
erhalte ich als Lösung für das Integral 0.
Ist das korrekt?
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Hallo jokerose,
> Hallo
>
> > Nein, das stimmt nicht. Du hast nämlich die singuläre
> > Stelle bei [mm]- \frac{\pi}{2}[/mm] übersehen. Ansonsten stimmt
> > dein Vorgehen.
>
> Also, da das Residum bei [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] = 1 ist, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> erhalte ich als Lösung für das Integral 0.
> Ist das korrekt?
Jo, sieht gut aus!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Di 01.09.2009 | | Autor: | jokerose |
ok, vielen Dank. 
Liebe Grüsse
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