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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mi 25.07.2007 | | Autor: | lara.mil |
| Aufgabe | Für welche m,n [mm] \in \IR [/mm] gilt folgene Gleichung:
( [mm] \wurzel{3} [/mm] - i [mm] )^m [/mm] = ( 1 + i [mm] )^n [/mm] |
Ich hatte die Idee, erst alles in Polarkorrdinaten umzurechnen.
Also ( [mm] \wurzel{3} [/mm] - i [mm] )^m [/mm] = (m-te wurzel) [mm] \2*(cos(\pi/6) [/mm] + i [mm] sind(\pi/6)
[/mm]
bzw. (m-te wurzel) [mm] 2*e^{i\pi/6} [/mm]
aber für die andere seite weiß ich nicht weiter... und wie kann ich dann m, n bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche m,n [mm]\in \IR[/mm] gilt folgene Gleichung:
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> ( [mm]\wurzel{3}[/mm] - i [mm])^m[/mm] = ( 1 + i [mm])^n[/mm]
> Ich hatte die Idee, erst alles in Polarkorrdinaten
> umzurechnen.
>
> Also ( [mm]\wurzel{3}[/mm] - i [mm])^m[/mm] = (m-te wurzel) [mm]\2*(cos(\pi/6)[/mm] +
> i [mm]sind(\pi/6)[/mm]
> bzw. (m-te wurzel) [mm]2*e^{i\pi/6}[/mm]
>
> aber für die andere seite weiß ich nicht weiter... und wie
> kann ich dann m, n bestimmen?
In Polarkoordinaten hast Du also folgende Gleichung zu lösen:
[mm]\big(2\cdot\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}}\big)^m = \big(\sqrt{2}\cdot\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}\big)^n[/mm]
Diese Gleichung gilt genau dann, wenn sowohl die Beträge als auch die Argumente (modulo [mm] $2\pi$) [/mm] der beiden Seiten gleich sind. Es muss also gelten [mm] $2^m [/mm] = [mm] \sqrt{2}^n$ [/mm] und [mm] $-\frac{\pi}{6}\cdot [/mm] m = [mm] \frac{\pi}{4}\cdot [/mm] n$ (modulo [mm] $2\pi$).
[/mm]
Die erste Gleichung gilt, wenn $n=2m$ ist. Nun steckst Du diese Information einfach in die zweite Gleichung rein und schaust, was daraus folgt.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:46 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Für welche m,n [mm]\in \IR[/mm] gilt folgene Gleichung:
> >
> > ( [mm]\wurzel{3}[/mm] - i [mm])^m[/mm] = ( 1 + i [mm])^n[/mm]
> > Ich hatte die Idee, erst alles in Polarkorrdinaten
> > umzurechnen.
> >
> > Also ( [mm]\wurzel{3}[/mm] - i [mm])^m[/mm] = (m-te wurzel) [mm]\2*(cos(\pi/6)[/mm] +
> > i [mm]sind(\pi/6)[/mm]
> > bzw. (m-te wurzel) [mm]2*e^{i\pi/6}[/mm]
> >
> > aber für die andere seite weiß ich nicht weiter... und wie
> > kann ich dann m, n bestimmen?
>
> In Polarkoordinaten hast Du also folgende Gleichung zu
> lösen:
>
> [mm]\big(2\cdot\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}}\big)^m = \big(\sqrt{2}\cdot\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}\big)^n[/mm]
Da [mm] $m,n\in\IR$ [/mm] sind (und nicht etwa ganze Zahlen), muss man, denke ich nun, den Ansatz schon an dieser Stelle allgemeiner machen und [mm] $k,l\in\IZ$ [/mm] in die Polardarstellung einführen. Zudem hatte ich (peinlicherweise) die imaginäre Einheit im Exponenten der Polardarstellung doch glatt vergessen. Richtiger wäre also, meiner Meinung nach, der Ansatz:
[mm]\big(2\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)}\big)^m = \big(\sqrt{2}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{4}+2l\pi\right)}\big)^n[/mm]
>
> Diese Gleichung gilt genau dann, wenn sowohl die Beträge
> als auch die Argumente (modulo [mm]2\pi[/mm]) der beiden Seiten
> gleich sind. Es muss also gelten [mm]2^m = \sqrt{2}^n[/mm] und
[mm]\left(-\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot m = \left(\frac{\pi}{4}+2l\pi\right)\cdot n[/mm] (modulo [mm] $2\pi$) [/mm] für geeignete [mm] $k,l\in\IZ$.
[/mm]
> Die erste Gleichung gilt, wenn [mm]n=2m[/mm] ist.
> Nun steckst Du
> diese Information einfach in die zweite Gleichung rein und
> schaust, was daraus folgt.
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:53 Do 26.07.2007 | | Autor: | lara.mil |
Vielen Dank!!
Dann war die Aufgabe ja garnicht so schwer, man muss nur erstmal draufkommen!
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