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Forum "Induktionsbeweise" - komplizierte Induktion
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komplizierte Induktion: guter Induktionsschritt !
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Di 23.04.2013
Autor: Dogge

Aufgabe
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] \in IN_x [/mm] und alle
reellen Zahlen x1; x2; ... ; xn >= 0 mit [mm] \prod_{i=1}^{N} x_i=1 [/mm] die Ungleichung
[mm] \summe_{i=1}^{N} x_i [/mm] >=n gilt.
Hinweis: Zeigen Sie im Induktionsschritt zunächst, dass für beliebige reelle Zahlen x; y mit
x <= 1<=  y stets xy<= x + y - 1 gilt. Wenden Sie diese Ungleichung dann in geeigneter Weise
an.

Ich komme beim Induktionsschritt nicht weiter. Wär schön, wenn mir jemand einen systematischen Tipp geben könnte.

Ansatz:
[mm] IA:\prod_{i=1}^{1} x_i=x_1=1 [/mm] ,also [mm] \summe_{i=1}^{1} x_i>=1 [/mm] .
IV:Für alle n [mm] \in \IN_+ [/mm] gilt mit [mm] \prod_{i=1}^{N} x_i=1 [/mm]  auch [mm] \summe_{i=1}^{N} x_i<=N. [/mm]
IS: [mm] \prod_{i=1}^{N+1} x_i=1 [/mm] mit [mm] \prod_{i=1}^{N} x_i=1, [/mm] also x_(N+1)=1 und damit [mm] \summe_{i=1}^{N+1} x_i<=N+1. [/mm]

Und jetzt die Fälle: [mm] a)\prod_{i=1}^{N} x_i<1 [/mm] und [mm] b)\prod_{i=1}^{N} x_i>1. [/mm]

jetzt kann ich noch mit x_(N+1) multiplizieren, aber weiter weiß
ich nicht.

Bei der Hilfestellung klappts auch nicht. xy<=x + y kann ich zeigen, aber wie geht xy<=x + y-1????

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
komplizierte Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Di 23.04.2013
Autor: sometree

Hallo Dogge und herzlich willkommen,

ein paar kleine Vorabbemerkungen:
-ich gehe davon aus, dass n und N identisch sind.
-bitte schreibe [mm] $\geq$(Code [/mm] ersichtlich mittels mouse-over oder Zitatfunktion) statt dem häßlichen >=
-ich gehe auch davon aus, dass alle [mm] $\geq$ [/mm] eigentlich [mm] $\leq [/mm] $ sein sollen.

Zur Hilfsaussage:
Zeige stattdessen
$x [mm] \leq 1\leq [/mm]  y$ stets $xy-x [mm] \leq [/mm]  y - 1$
(Warum ist das äquivalent?)

Zur Ind.
Wähle ein $i$  und ein $j [mm] \neq [/mm] i$ mit [mm] $x_i \geq [/mm] 1 [mm] \geq x_j$ [/mm] (warum gibt es solche i,j?)o.E. ist i=N, j=N+1 (warum?)
Wende Induktion auf und die Hilfsaussage auf [mm] $y_i=x_i$ [/mm] für [mm] $1\leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] N-1$, [mm] $y_N=x_Nx_{N+1}$ [/mm] an.


Bezug
                
Bezug
komplizierte Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Mi 24.04.2013
Autor: Dogge

Danke für die Antwort sometree,
Die Hilsaussage war einfach: Es gilt x [mm] \leq [/mm] 1. Daraus folgt [mm] x(y-1)\leq(y-1) [/mm] , da (y-1) > 0. Ausmultipliziert ergibt das xy-x [mm] \leq [/mm] y-1 und das ist xy [mm] \leq [/mm] x+y-1.

Der Induktionsschritt ist mit [mm] y_N=x_N x_{N+1} [/mm] und [mm] x_i [/mm] = [mm] y_i [/mm] für i [mm] \leq [/mm] N-1 :

[mm] (\prod_{i=1}^{N-1} y_i)y_{N}=1 [/mm] . Wegen der IV für N gilt also [mm] (\sum_{k=1}^{N-1} x_i [/mm] )+ [mm] x_N x_{N+1}\leq [/mm] N. Von hier aus wirds schwierig:
Ich kann zeigen: [mm] (\sum_{k=1}^{N-1} x_i [/mm] )+ [mm] x_N X_{N+1}\leq(\sum_{k=1}^{N-1} x_i [/mm] )+ [mm] x_N [/mm] + [mm] x_{N+1} [/mm] -1, und jetzt?

Bezug
                        
Bezug
komplizierte Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Mi 24.04.2013
Autor: sometree

Hallo,
> Danke für die Antwort sometree,

>  Die Hilsaussage war einfach: Es gilt x [mm]\leq[/mm] 1. Daraus
> folgt [mm]x(y-1)\leq(y-1)[/mm] , da (y-1) > 0. Ausmultipliziert
> ergibt das xy-x [mm]\leq[/mm] y-1 und das ist xy [mm]\leq[/mm] x+y-1.
>  
> Der Induktionsschritt ist mit [mm]y_N=x_N x_{N+1}[/mm] und [mm]x_i[/mm] = [mm]y_i[/mm]
> für i [mm]\leq[/mm] N-1 :
>  
> [mm](\prod_{i=1}^{N-1} y_i)y_{N}=1[/mm] . Wegen der IV für N gilt
> also [mm](\sum_{k=1}^{N-1} x_i[/mm] )+ [mm]x_N x_{N+1}\leq[/mm] N. Von hier
> aus wirds schwierig:

Deine IV ist falsch, du hast wieder das größer-gleich verdreht.

>  Ich kann zeigen: [mm](\sum_{k=1}^{N-1} x_i[/mm] )+ [mm]x_N X_{N+1}\leq(\sum_{k=1}^{N-1} x_i[/mm]
> )+ [mm]x_N[/mm] + [mm]x_{N+1}[/mm] -1, und jetzt?

Mal die Induktionsvoraussetzung anwenden (kommt dir das nicht seltsam vor wenn man das nicht tut?)


Bezug
                                
Bezug
komplizierte Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:26 Mi 24.04.2013
Autor: Dogge

Sorry, sorry,sorry! Es heißt NICHT [mm] \leq [/mm] , sondern [mm] \geq [/mm] ! Sorry!!!Jetzt klappt es perfekt! Danke!

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