konservatives Vektorfeld < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Di 06.09.2005 | | Autor: | muraene |
hallo !
ich weiß leider nicht wie ich zur Lösung folgender Aufgabe kommen soll. freu mich über hilfe.
Aufgabe: Stellen sie fest, ob das Vektorfeld Konservativ ist und bestimmen sie ggf. das dazugehörige potential.
F [mm] (x,y)=\pmat{ y²sinx - 2x \\ -2ycosx + 4y}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Di 06.09.2005 | | Autor: | felixs |
hallo
> Aufgabe: Stellen sie fest, ob das Vektorfeld Konservativ
> ist und bestimmen sie ggf. das dazugehörige potential.
>
> F [mm](x,y)=\pmat{ y²sinx - 2x \\ -2ycosx + 4y}[/mm]
fuer sternfoermiges [mm] $\Omega$ [/mm] heisst ein vektorfeld $F [mm] \in C^1(\Omega)$ [/mm] konservativ oder (sinnvoller: gradientenfeld) wenn gilt:
[mm] $\forall [/mm] i,j: [mm] \partial_jF_i [/mm] = [mm] \partial_iF_j$.
[/mm]
(wenn du nen beweis bauchst sag bescheid, ich nehme jetzt mal an das reicht so als hinweis..)
auf jedenfall ist das alles erfuellt.
und man kann auch f mit $grad f=F$ angeben, naehmlich [mm] $-y^2cosx-x^2+2y$.
[/mm]
hth
--felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 06.09.2005 | | Autor: | muraene |
ich hab leider keine anhnug von Vektorfeldern. würde das aber gerne Verstehen. wie ich das in meiner Formelsammlung sehen kann muss ich hierzu ein Lienien- bzw. Kurvenintegral bilden und wenn dieses nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig ist und nicht vom eingeschlagenen Weg, dann ist es Konservativ.aber wie stelle ich das fest?
gruß muräne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Di 06.09.2005 | | Autor: | felixs |
> ich hab leider keine anhnug von Vektorfeldern. würde das
> aber gerne Verstehen. wie ich das in meiner Formelsammlung
> sehen kann muss ich hierzu ein Lienien- bzw. Kurvenintegral
> bilden und wenn dieses nur vom Anfangs- und Endpunkt
> abhängig ist und nicht vom eingeschlagenen Weg, dann ist es
> Konservativ.aber wie stelle ich das fest?
hallo.
wenn du erstmal $f$ mit $F=grad f$ gefunden hast ist das mit dem anfangs und endpunkt eigenltich leicht einzusehen. (den kompletten beweis fuer die aussage von vorhin will ich dir erstmal ersparen).
nimm dir eine geschlossene kurve $c [mm] \in C^1(I)$ [/mm] und betrachte [mm] $\oint_c [/mm] F = [mm] \int_I F\circ [/mm] c [mm] \cdot [/mm] c' = [mm] \int_I [/mm] grad f [mm] \circ [/mm] c [mm] \cdot [/mm] c' = [ F [mm] \circ [/mm] c [mm] ]_a^b$.
[/mm]
und das ist 0 weil $c(a)=c(b)$.
jetzt kannst du je 2 kurven mit gleichen endpunkten zu einer solchen 'schleife' umbauen. und dann siehst du da integral ueber den hinweg dasselbe sein muss wie -integral ueber rueckweg.... => also wegunabhaengig.
vielleicht verbessert das deine anschauung ein wenig...
--felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 06.09.2005 | | Autor: | muraene |
hi!
also das kann ich verstehen. aber wenn ich den Gradienten gemäß:
grad f = ( [mm] \partial [/mm] f/ [mm] \partial [/mm] x) * [mm] \vec{e(x)} [/mm] + ( [mm] \partial [/mm] f/ [mm] \partial [/mm] y) * [mm] \vec{e(y)} [/mm]
errechne dann kommt bei mir grad f = y²cos x - 2cos x + 2 raus.
guß muräne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Di 06.09.2005 | | Autor: | felixs |
da stimmt was nicht.
> grad f = ( [mm]\partial[/mm] f/ [mm]\partial[/mm] x) * [mm]\vec{e(x)}[/mm] + (
> [mm]\partial[/mm] f/ [mm]\partial[/mm] y) * [mm]\vec{e(y)}[/mm]
hier ist $grad f : [mm] \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$
[/mm]
> errechne dann kommt bei mir grad f = y²cos x - 2cos x + 2 raus.
jetzt ploetzlich $grad f : [mm] \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$
[/mm]
wie sieht das $f$ aus? das f von mir vorhin?
--felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 06.09.2005 | | Autor: | muraene |
also vielleicht ist da schon was in meiner interpretation falsch.. ich ging hier davon aus, dass sich meine ausgangsposition F [mm] (x,y)=\pmat{ y²sinx - 2x \\ -2ycosx + 4y} [/mm]
aufteilt in F(x)= x²sinx-2x und F(y)=-2ycosx+4y diese teile muss ich dann differenzieren jeweilsnach dx uns dy , dann die beiden teile addieren, mein dritter vektor z ist 0.oder wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 06.09.2005 | | Autor: | Toellner |
hallo,
der Gradient einer skalaren Funktin f (d.h. f geht in [mm] \IR) [/mm] ist selbst ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges zeigt und dessen Länge die Steigung in dieser Richtung wiedergibt. Insofern siehst Du vielleicht Deinen Fehler selbst:
> also vielleicht ist da schon was in meiner interpretation
> falsch.. ich ging hier davon aus, dass sich meine
> ausgangsposition F [mm](x,y)=\pmat{ y²sinx - 2x \\ -2ycosx + 4y}[/mm]
>
> aufteilt in F(x)= x²sinx-2x und F(y)=-2ycosx+4y
soweit klar
> diese teile muss ich dann differenzieren jeweilsnach dx uns dy ,
auch klar
> dann die beiden teile addieren,
aus den Komponenten musst Du einen zweidimensionalen Vektor machen.
Gruß Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Mi 07.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Mitteilung von Richard ist falsch. kann aber erst bei Tag darauf eingehen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo,
der Nabla ist für ein Skalarfeld der Gradient: hier haben wir aber ein Vektorfeld! Tut mir leid, ich hab die Diskussion nicht gelesen (außerdem stand's ja im Text, schäm)...
Grüße, Richard
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hallo,
ich glaube klein f und groß F gehen hier durcheinander:
Du suchst eine Skalarfunktion f (geht in [mm] \IR [/mm] ) zu einem Vektorfeld F (geht in den [mm] \IR²) [/mm] für die gilt: -grad f = F .
Das "-" hab ich evtl. aus der Physik noch dazugetan.
Dazu hat Dir Felix in der 1. Antwort was geschrieben.
"grad" macht nur bei Skalarfeldern Sinn und ergibt einen Vektor (siehe mein Posting). f heißt in diesem Zusammenhang "Potential" und wird meist [mm] \phi [/mm] geschrieben und erfüllt die Unabhängigkeit vom Weg, wie Felix gezeigt hat (und das heißt praktisch, Du kannst z.B. eine Ladung im E-Feld beliebig verschieben und musst bei gleichen Anfangs- und Endpunkten immer die gleiche Arbeit verrichten)
grad f = F heißt: Du suchst eine Funktion, die partiell nach x abgeleitet einmal [mm] F_{x} [/mm] (das ist die x-Komponente von F) liefert, aber partiell nach y abgeleitet [mm] F_{y} [/mm] .
Das kannst Du in Deinem Fall durch hingucken lösen:
f(x,y) = -y²sin(x) - x² + 2y² (das ² beim letzten y² hat Felix in seinem 1. Posting vergessen).
Grüße, Richard
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