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| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} [/mm] stetig diff.bar, [mm] y\in \mathbb{R}^n [/mm] und r>0.
Zeige: Ist grad f=0 auf [mm] B(y,r)\Rightarrow [/mm] f konstant auf B(y,r).
Benutze den Mittelwertsatz. |
Hallo,
der Mittelwertsatz besagt: [mm] f(x+\zeta)-f(x)=\left(\overset{1}{\underset{0}{\int}}Df(x+t\zeta)dt\right)\cdot\zeta
[/mm]
mit [mm] 0\leq t\leq [/mm] 1.
Dann gilt doch grad f(z)=0 für [mm] z\in [/mm] B(y,r) oder? Jetzt muss ich irgendwie den obigen Satz anwenden. Für das obige t wähle ich dann r.
Ich bin mir noch nicht ganz sicher, wie ich es weiter anwenden soll. Ich könnte doch den Satz nach f(z) umstellen:
[mm] f(z)=f(z+\zeta)-\left(\overset{1}{\underset{0}{\int}}Df(z+t\zeta)dt\right)\cdot\zeta.
[/mm]
Kommt man damit weiter? Wie?
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:30 Fr 12.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> der Mittelwertsatz besagt:
> [mm]f(x+\zeta)-f(x)=\left(\overset{1}{\underset{0}{\int}}Df(x+t\zeta)dt\right)\cdot\zeta[/mm]
Den kannst du natürlich nur nutzen, weil die "Verbindungslinie" [mm] $\{x+t\zeta\mid 0\le t\le 1\}$ [/mm] in B(y,r) liegt für alle $x, [mm] x+\zeta\in [/mm] B(y,r)$ - Kugeln sind konvex. Ich verstehe auch nicht warum dieser Mittelwertsatz immer in dieser Form notiert wird: Was bitte ist das Integral über lineare Abbildungen?
> Dann gilt doch grad f(z)=0 für [mm]z\in[/mm] B(y,r) oder?
Naja, du bist eigentlich schon fertig, denn für Abbildungen [mm] $f:\IR^n\to\IR$ [/mm] ist [mm] $Df(x)=\operatorname{grad}f(x)$, [/mm] also ist der Integrand konstant 0...
Gruß, Robert
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> > der Mittelwertsatz besagt:
> >
> [mm]f(x+\zeta)-f(x)=\left(\overset{1}{\underset{0}{\int}}Df(x+t\zeta)dt\right)\cdot\zeta[/mm]
> Den kannst du natürlich nur nutzen, weil die
> "Verbindungslinie" [mm]\{x+t\zeta\mid 0\le t\le 1\}[/mm] in B(y,r)
> liegt für alle [mm]x, x+\zeta\in B(y,r)[/mm] - Kugeln sind konvex.
> Ich verstehe auch nicht warum dieser Mittelwertsatz immer
> in dieser Form notiert wird: Was bitte ist das Integral
> über lineare Abbildungen?
Naja lineare Abbildungen kann man in Matrizenform angeben. Wenn man dann einen Vektor [mm] v=(v_1,...,v_m) [/mm] hat haben wir unser Integral folgendermaßen definiert:
[mm] \int v(t)dt=\begin{pmatrix}\int v_{1}(t)dt\\
\vdots\\
\int v_{m}(t)dt\end{pmatrix}
[/mm]
>
> > Dann gilt doch grad f(z)=0 für [mm]z\in[/mm] B(y,r) oder?
> Naja, du bist eigentlich schon fertig, denn für
> Abbildungen [mm]f:\IR^n\to\IR[/mm] ist
> [mm]Df(x)=\operatorname{grad}f(x)[/mm], also ist der Integrand
> konstant 0...
Wieso liegt gerade immer die Verbindungslinie in der Kugel? Das ist mir nicht klar, bzw. ich muss es ja irgendwie genauer begründen.
Dann wäre [mm] \int Df(x+t\zeta)dt=0.
[/mm]
Aber dann steht da ja noch auf der anderen Seite [mm] f(x+\zeta)-f(x),
[/mm]
also [mm] f(x+\zeta)-f(x)=0, [/mm] dann hätte ich [mm] f(x)=f(x+\zeta), [/mm] was nur geht wenn f konstant oder? Naja gut ich habe hier jetzt keine Injektivität gegeben oder sowas, aber irgendwie muss ich das doch noch genauer begründet bekommen, vorausgesetzt, das was ich hier alles erzähle ist überhaupt richtig.
>
> Gruß, Robert
Gruß Sleeper
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Fr 12.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wieso liegt gerade immer die Verbindungslinie in der Kugel?
> Das ist mir nicht klar, bzw. ich muss es ja irgendwie
> genauer begründen.
Richtig, das muss man natürlich beweisen (anschaulich ist es aber doch klar). Du musst zeigen, wenn [mm] $x,y\in [/mm] B(M,r), [mm] 0\le t\le1\Rightarrow x+t(y-x)\in [/mm] B(M,r)$ - diese Eigenschaft heißt übrigens konvex: eine Menge, die mit je zwei Punkten auch deren Verbindungslinie enthält.
> Dann wäre [mm]\int Df(x+t\zeta)dt=0.[/mm]
> Aber dann steht da ja
> noch auf der anderen Seite [mm]f(x+\zeta)-f(x),[/mm]
> also [mm]f(x+\zeta)-f(x)=0,[/mm] dann hätte ich [mm]f(x)=f(x+\zeta),[/mm]
> was nur geht wenn f konstant oder? Naja gut ich habe hier
> jetzt keine Injektivität gegeben oder sowas, aber irgendwie
> muss ich das doch noch genauer begründet bekommen,
> vorausgesetzt, das was ich hier alles erzähle ist überhaupt
> richtig.
Naja, damit hast du gezeigt: Für beliebige [mm] $x,x+\zeta\in [/mm] B(y,r)$ ist [mm] $f(x)=f(x+\zeta)$. [/mm] Also folgt doch z.B. insbesondere, dass $f(x)=f(y)$ für alle [mm] $x\in [/mm] B(y,r)$. Also ist f konstant auf $B(y,r)$.
Gruß, Robert
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