konv. reelle Folge, Nullfolge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Ist [mm] (u_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine konvergente reelle Folge, so gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{u_{1} + ...... + u_{n}}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} u_{n}.
[/mm]
Bezeichne den Grenzwert mit u und zeige, dass
[mm] \bruch{(u_{1} - u) + ..... +(u_{n} - u)}{n} [/mm] eine Nullfolge bildet.
Zerlege dabei die Summe im Zähler mit einem geeigneten N so:
[mm] \underbrace{(u_{1} - u) + .... + (u_{N-1} - u)} [/mm] + [mm] \underbrace{( u_{N} - u) + .... + (u_{n} - u)} [/mm] . |
Hallo...
jetzt habe ich noch eine für mich unverständliche Aufgabe...
die anderen waren wenigstens etwas nachvollziehbar aber diese hier...
Ich weiß nicht wo ich anfangen soll, geschweige denn wie...
Wäre super, wenn mir jemand etwas Licht in diese Aufgabe bringen könnte.
Vielen tausend Dank im Voraus.
Gruß
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Fr 30.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo Doreen!
> Zeigen Sie: Ist [mm](u_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine konvergente reelle
> Folge, so gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{u_{1} + ...... + u_{n}}{n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} u_{n}.[/mm]
>
> Bezeichne den Grenzwert mit u und zeige, dass
>
> [mm]\bruch{(u_{1} - u) + ..... +(u_{n} - u)}{n}[/mm] eine Nullfolge
> bildet.
>
> Zerlege dabei die Summe im Zähler mit einem geeigneten N
> so:
>
> [mm]\underbrace{(u_{1} - u) + .... + (u_{N-1} - u)}[/mm] +
> [mm]\underbrace{( u_{N} - u) + .... + (u_{n} - u)}[/mm] .
> Hallo...
>
> jetzt habe ich noch eine für mich unverständliche
> Aufgabe...
> die anderen waren wenigstens etwas nachvollziehbar aber
> diese hier...
>
> Ich weiß nicht wo ich anfangen soll, geschweige denn
> wie...
>
> Wäre super, wenn mir jemand etwas Licht in diese Aufgabe
> bringen könnte.
Ich versuchs mal.
Du willst zeigen, dass [mm] $a_n [/mm] := [mm] \frac{(u_1 - u) + \dots + (u_n - u)}{n}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine Nullfolge ist. (Ist dir klar, warum das zur Loesung der Aufgabe fuehrt?)
Da [mm] $\lim_{n\to\infty} u_n [/mm] = u$ ist gibt es also zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $|u_n [/mm] - u| < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$. Damit ist insbesondere [mm] $\left|\frac{(u_{N+1} - u) + \dots + (u_n - u)}{n}\right| [/mm] < [mm] \frac{1}{n} \cdot [/mm] n [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $n > N$.
So. Und [mm] $\left|\frac{(u_1 - u) + \dots + (u_N - u)}{n}\right| [/mm] < [mm] \frac{N M}{n}$, [/mm] wobei $M > [mm] \sup_{n\in\IN} |u_n [/mm] - u|$ ist (warum gibt es so ein $M [mm] \in \IR$, [/mm] bzw. aequivalent, warum ist das Supremum $< [mm] \infty$?).
[/mm]
Jetzt musst du das beides zusammenwuerfeln. Wenn $n$ gross genug ist, dann ist [mm] $\varepsilon [/mm] + [mm] \frac{N M}{n}$ [/mm] kleiner als $2 [mm] \varepsilon$. [/mm] Und was bedeutet dies?
LG & HTH, Felix
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