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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n) [/mm] sei rekursiv definiert durch [mm] a_0:= [/mm] 0 und a_(n+1) = [mm] \bruch{3}{4}*a_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
a) zeigen sie, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und bestimmen sie den Grenzwert
b)geben sie eine explizite Darstellung für [mm] a_n [/mm] |
Hallo,
ich habe Probleme die Aufgbe zu lösen! Da mir mein [mm] a_n [/mm] nicht angegeben ist. Ich weiß nur dass [mm] a_1= \bruch{1}{4} [/mm] ist da [mm] a_0= [/mm] 0
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] sei rekursiv definiert durch [mm]a_0:=[/mm] 0 und
> a_(n+1)
(Klick mal auf die Formel, hier helfen geschweifte Klammern [mm] $\rightarrow$) [/mm]
[mm] $a_{n+1}$ [/mm]
> = [mm]\bruch{3}{4}*a_n[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> a) zeigen sie, dass [mm](a_n)[/mm] konvergiert und bestimmen sie
> den Grenzwert
> b)geben sie eine explizite Darstellung für [mm]a_n[/mm]
> Hallo,
> ich habe Probleme die Aufgbe zu lösen! Da mir mein [mm]a_n[/mm]
> nicht angegeben ist. Ich weiß nur dass [mm]a_1= \bruch{1}{4}[/mm]
> ist da [mm]a_0=[/mm] 0
> Kann mir jemand helfen?
>
> Ich habe diese Aufgabe in keinem anderem Forum gestellt.
bleibe bitte auch in der Reihenfolge der Aufgabe. Würde man mit b) anfangen, würde alles ziemlich trivial werden. (Man will hier bei a) aber, dass der Hauptsatz für monotone Folgen angewendet wird.)
Wenn Du Dir das anschaust:
[mm] $$a_0=0$$
[/mm]
[mm] $$a_1=\frac{1}{4}$$
[/mm]
[mm] $$a_2=\frac{3}{4}a_1+\frac{1}{4}=\frac{3}{16}+\frac{1}{4}=\frac{7}{16}$$
[/mm]
[mm] $$a_3=\frac{3}{4}a_2+\frac{1}{4}=\frac{37}{64}$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Sieht mal so aus, als wenn sich induktiv zeigen ließe, dass für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gelte $(0 [mm] \le a_n)\;\;\; \le 1\,.$ [/mm] Zudem scheint's, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend ist. Beides ist zu beweisen (z.B. per Induktion).
Zur Monotonie:
Folgender Tipp:
Zeige zunächst [mm] $\frac{1}{4} \le a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge 1\,.$ [/mm] Dann folgere [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$.
Das war Quatsch, irgendwo habe ich mich auf meinem Schmierzettel verschrieben. Die Monotonie erhälst Du, indem Du ausnutzt, dass für $n [mm] \ge [/mm] 1$ hier $(0 < [mm] )\;\;a_n \le [/mm] 1$ gilt. Das liefert Dir [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1$ ($n [mm] \ge [/mm] 1$).
(Dass [mm] $a_1 \ge a_0$ [/mm] gilt, ist ja offensichtlich!)
Zum Grenzwert:
Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nun als konvergent erkannt wurde, so gibt es ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $a_n \to a\,.$ [/mm] Weiterhin gilt dann auch, dass [mm] $(a_{n+1})_n$ [/mm] gegen $a$ konvergiert. Nutze das aus und dann Rechenregeln für konvergente Folgen.
zu b):
Demonstration der Idee:
[mm] $$a_{10}=\frac{3}{4}a_9+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}a_8+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}a_7+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=...$$
[/mm]
(Du kannst so auch erst mal für kleinere Indizes als [mm] $\,10\,$ [/mm] anfangen.)
Das sollte die Idee sein, die zu folgender Formel führen sollte:
[mm] $$a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^n *a_0+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{4}\right)^k=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{4}\right)^k\,.$$
[/mm]
Nun denke an die ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihe bzw. geometrische Summenformel.
(Diese so erhaltene Formel, die nun [mm] $a_n$ [/mm] angeblich explizit darstellt, ist nun noch per Induktion zu beweisen.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Sa 29.11.2008 | | Autor: | desdome |
Wie komme ich von [mm] \bruch{1}{4}\summe_{k=0}^{n-1}(\bruch{3}{4})^{k} [/mm] nach [mm] \bruch{1}{3}\summe_{k=1}^{n}(\bruch{3}{4})^{k} [/mm] ?
Weil ich bin nur auf das erste gekommen, und kann dann nicht umformen, das ich das 2. erhalte.
Aber wenn ich die geometrische Summenformel anwenden will, dann is das 2. ja einfacher zu benutzen ;)
bitte um Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie komme ich von
> [mm]\bruch{1}{4}\summe_{k=0}^{n-1}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm] nach [mm]\bruch{1}{3}\summe_{k=1}^{n}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm] ?
Du verschiebst den Summationsindex und ziehst einen Faktor vor die Summe:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k} = \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k-1} = \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k} \left(\bruch{3}{4}\right)^{-1} = \bruch{4}{3} \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 30.11.2008 | | Autor: | desdome |
> Hallo!
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> > Wie komme ich von
> > [mm]\bruch{1}{4}\summe_{k=0}^{n-1}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm] nach
> [mm]\bruch{1}{3}\summe_{k=1}^{n}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm] ?
>
> Du verschiebst den Summationsindex und ziehst einen Faktor
> vor die Summe:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k} = \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k-1} = \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k} \left(\bruch{3}{4}\right)^{-1} = \bruch{4}{3} \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k}[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
ja aber dann hab ich ja [mm] \bruch{4}{3} [/mm] vor der Summe stehen statt [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] aber ich denke meins is richtig, weil durch einsetzen kommen auch die rekursiv errechneten Werte raus
welches is nun richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Wie komme ich von
> > > [mm]\bruch{1}{4}\summe_{k=0}^{n-1}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm] nach
> > [mm]\bruch{1}{3}\summe_{k=1}^{n}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm] ?
> >
> > Du verschiebst den Summationsindex und ziehst einen Faktor
> > vor die Summe:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{n-1}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k} = \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k-1} = \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k} \left(\bruch{3}{4}\right)^{-1} = \bruch{4}{3} \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{3}{4}\right)^{k}[/mm]
>
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> ja aber dann hab ich ja [mm]\bruch{4}{3}[/mm] vor der Summe stehen
> statt [mm]\bruch{1}{3},[/mm]
Weil du das Ganze ja noch mit 1/4 malnehmen musst. Schau mal genau hin!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | ulla |
also ich habe zu der a)
a:= lim [mm] (a_{n+1}) [/mm] = lim (3/4* [mm] a_{n}+1/4) [/mm] = 3/4(lim [mm] a_{n}) [/mm] + 1/4 = 3/4*a+1/4
a=3/4a+1/4
a=1 => der Grenzwert ist 1
ich weiß aber nicht wie ich zeigen soll dass es konvergent ist, ich weiß zwar dass ich dazu zeigen muss entweder monoton steigend oder fallend. Aber ich versteh nicht wie??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 So 30.11.2008 | | Autor: | Marcel |
> also ich habe zu der a)
>
> a:= lim [mm](a_{n+1})[/mm]
Lieber direkt: [mm] $a:=\lim_{n \to \infty}a_n$ $\Rightarrow$ $a=\lim_{n \to \infty}a_{n+1}$ [/mm] schreiben!
> = lim (3/4* [mm]a_{n}+1/4)[/mm] = 3/4(lim [mm]a_{n})[/mm] +
> 1/4 = 3/4*a+1/4
[mm] $\blue{\Rightarrow}$
[/mm]
> a=3/4a+1/4
[mm] $\blue{\gdw}$
[/mm]
> a=1 => der Grenzwert ist 1
>
> ich weiß aber nicht wie ich zeigen soll dass es konvergent
> ist, ich weiß zwar dass ich dazu zeigen muss entweder
> monoton steigend oder fallend. Aber ich versteh nicht wie??
Hallo Ulla,
entschuldige, aber es ist wirklich so:
Einfach das oben von mir geschriebene lesen und die Behauptungen dort, mit einem Induktionsbeweis, zeigen.
Du zeigst zunächst, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt ist (wie, das steht in dem Link). (Die Monotonie alleine wäre noch nicht hinreichend für die Konvergenz; ebenso ist Monotonie auch nicht notwendig für Konvergenz, was viele Anfangssemestler oft fälschlicherweise irgendwie in ihre 'Beweise' einbauen.)
Daraus folgt nach dem Hauptsatz über monotone Folgen die Konvergenz und erst dann kannst Du auch erschließen, dass [mm] $a_n \to [/mm] 1$ ($n [mm] \to \infty$)
[/mm]
(mit Deiner Rechnung, die stimmt dann so; aber sie wäre falsch, wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergent wäre; mache Dir das mal klar!)
Es sei denn, man würde mit Teilfaufgabe b) anfangen, aber das soll man hier definitiv nicht (in der Klausur wäre das vll. etwas anders).
Gruß,
Marcel
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