konvergente Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 So 13.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] konvergente Folgen in [mm] \IR [/mm] und seien a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}, [/mm] b = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}. [/mm] Zeigen oder wiederlegen Sie:
(a) Wenn [mm] a_{n} \le b_{n} [/mm] für alle n gilt, dann gilt auch a [mm] \le [/mm] b
(b) Wenn [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] für alle n gilt, dann gilt auch a < b |
Ich sehe, dass a stimmt und b nicht, dass ich also a beweisen muss und b mit einem Gegenbeispiel widerlegen muss, kann das aber formal überhaupt nicht aufschreiben, bin für jede Hilfe dankbar ... (:
ps. (könnte aber leider nicht wirklich erklären, woher ich weiß, dass a stimmt und b nicht...)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Anazeug und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Seien [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] konvergente Folgen in [mm]\IR[/mm] und
> seien a = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n},[/mm] b =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}.[/mm] Zeigen oder wiederlegen
> Sie:
>
> (a) Wenn [mm]a_{n} \le b_{n}[/mm] für alle n gilt, dann gilt auch a
> [mm]\le[/mm] b
>
> (b) Wenn [mm]a_{n}[/mm] < [mm]b_{n}[/mm] für alle n gilt, dann gilt auch a <
> b
> Ich sehe, dass a stimmt und b nicht, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") dass ich also a
> beweisen muss und b mit einem Gegenbeispiel widerlegen
> muss, kann das aber formal überhaupt nicht aufschreiben,
> bin für jede Hilfe dankbar ... (:
Na, das mit dem Gegenbsp. für b) ist doch der einfachere Teil.
Suche mal zwei ganz einfache Nullfolgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm], für die [mm]a_n\le b_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt ...
a) kannst du geradeheraus beweisen.
Es folgt fast direkt aus der [mm]\varepsilon[/mm]-Definition der Konvergenz.
Beachte, dass [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] bedeutet [mm]a-\varepsilon \ < \ a_n \ < \ a+\varepsilon[/mm] (analog für [mm]|b_n-b|<\varepsilon[/mm])
Wegen der Konvergenz der beiden Folgen gibt es ein [mm]n_0[/mm], so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt:
[mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] und [mm]|b_n-b|<\varepsilon[/mm] ...
Das soll mal zum Nachdenken genügen ...
>
>
> ps. (könnte aber leider nicht wirklich erklären, woher
> ich weiß, dass a stimmt und b nicht...)
Du musst ja irgendwie die Vermutung aufgestellt haben, was hast du denn gedacht oder probiert?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 13.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Natürlich, vielen Dank. Hast natürlich recht, b ist der einfachere Teil. ich nehm z.B. [mm] a_{n} [/mm] sei 1/n und [mm] b_{n} [/mm] sei 1/n² (somit a und b = 0) und zeige, dass nicht gilt a < b, sondern dass beide gegen 0 konvergieren.
Bei Aufgabenteil 1 hab ich noch eine Schwierigkeit, ich kann doch nicht einfach 2 einfache Nullfolgen nehmen, ich hätte das dann doch nicht allgemein gezeigt, oder?
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Hallo nochmal,
> Natürlich, vielen Dank. Hast natürlich recht, b ist der
> einfachere Teil. ich nehm z.B. [mm]a_{n}[/mm] sei 1/n und [mm]b_{n}[/mm] sei
> 1/n²
Umgekehrt!
In deiner Version ist doch [mm]a_n>b_n[/mm] für $n>1$
> (somit a und b = 0) und zeige, dass nicht gilt a < b,
> sondern dass beide gegen 0 konvergieren.
Das musst du nicht mehr zeigen, dass beides Nullfolgen sind, ist sehr offensichtlich.
Beachte, dass [mm]a_1=b_1[/mm] ist, ein kleiner Schönheitsfehler ..
Ich hätte spontan an [mm]a_n=\frac{1}{n+1}[/mm] und [mm]b_n=\frac{1}{n}[/mm] gedacht ...
>
> Bei Aufgabenteil 1 hab ich noch eine Schwierigkeit, ich
> kann doch nicht einfach 2 einfache Nullfolgen nehmen, ich
> hätte das dann doch nicht allgemein gezeigt, oder?
Ja, das musst du allgemein zeigen, dazu war ja mein Ansatz gedacht.
Es gibt ein [mm]n_0[/mm], so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt:
1) [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
2) [mm]|b_n-b|<\varepsilon[/mm]
Also [mm]a-\varepsilon
Daher wegen [mm]a_n\le b_n[/mm] nach Vor.:
[mm]a-\varepsilon
Nun habe ich fast den gesamten Beweis gemacht, folgere DU nun, dass [mm]a\le b[/mm] sein muss ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 13.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar danke, naja ich krieg die letzte Schlussfolgerung nicht hin, danke trotzdem ...
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Hallo nochmal,
> Alles klar danke, naja ich krieg die letzte
> Schlussfolgerung nicht hin, danke trotzdem ...
Dann noch ein letzer Hinweis:
Nur die Terme ganz außen betrachtet, haben wir:
[mm]a-\varepsilon \ < \ b+\varepsilon[/mm]
Nun addiere auf beiden Seiten [mm]\varepsilon[/mm] und subtrahiere auf beiden Seiten [mm]b[/mm]
Jetzt aber ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 13.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
ja dann habe ich a - b < 2epsilon, was habe ich davon? sorry, ich steh grad anscheinend richtig aufm Schlauch...
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Hallo nochmal,
> ja dann habe ich a - b < 2epsilon, was habe ich davon?
> sorry, ich steh grad anscheinend richtig aufm Schlauch...
Daraus folgt doch, dass [mm] $a-b\le [/mm] 0$ sein muss, die rechte Seite geht doch beliebig nahe an 0 ran ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 13.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ja, das ist ja klar, folgt ja aus der Voraussetzung, aber was habe ich von der Info?
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Hallo nochmal,
> Ja, das ist ja klar, folgt ja aus der Voraussetzung,
???????????????????????
Vor. ist, dass [mm] $a_n\le b_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] $a-b\le [/mm] 0$ folgt aus der ganzen Abschätzungsmühe, die wir uns hier gemacht haben.
> aber
> was habe ich von der Info?
Ich verstehe kein Wort?!
Was ist Voraussetzung, was zu zeigen?
Schreibe das mal sauber hin!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 So 13.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ach egal, ich versteh den Schluss halt einfach nicht richtig ... ich lass es mir vom Tutor nochmal erklären, danke trotzdem für deine Mühe
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Hallo nochmal,
egal ist das ganz und gar nicht ...
Also bis $a-b \ < \ [mm] 2\varepsilon$ [/mm] ist es klar, oder?
Die rechte Seite ist immer positiv, da [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] kann aber beliebig nahe an 0 rankommen.
Und $a-b$ muss kleiner sein, also [mm] $a-b\le [/mm] 0$ und damit [mm] $a\le [/mm] b$, was zu zeigen war.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 So 13.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ah, hat sich erledigt, ist nun alles klar, vielen Dank! Kann leider meine Frage nicht mehr zu einer Mitteilung ändern.
Hast mir sehr geholfen, schönen Abend noch! :)
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