konvergente Folgen => limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mo 04.06.2012 | | Autor: | mathiii |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe Verständnisprobleme mit oben stehendem Beweis. Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Also, mit Kontraposition hätte ich ebenfalls angefangen und auch denselben Ansatz gewählt.
Doch warum wird hier [mm] \varepsilon [/mm] auf (a-b)/2 > 0 gesetzt und wieso folgt daraus, dass n1 und n2 existieren?
Vielen Dank für eine kleine Erklärung :)
PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
>
> ich habe Verständnisprobleme mit oben stehendem Beweis.
> Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen
> könnte.
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> Also, mit Kontraposition hätte ich ebenfalls angefangen
> und auch denselben Ansatz gewählt.
> Doch warum wird hier [mm]\varepsilon[/mm] auf (a-b)/2 > 0 gesetzt
> und wieso folgt daraus, dass n1 und n2 existieren?
>
> Vielen Dank für eine kleine Erklärung :)
>
>
> PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
ich sehe kein Bild - entweder wurde es von einem anderen Mod. wegen Urheberrechtsverletzung gelöscht, oder Du hast es nicht hochgeladen.
Benutze aber doch einfach den Formeleditor (auf matheraum.de/mm).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> ich habe Verständnisprobleme mit oben stehendem Beweis.
> Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen
> könnte.
>
> Also, mit Kontraposition hätte ich ebenfalls angefangen
> und auch denselben Ansatz gewählt.
> Doch warum wird hier [mm]\varepsilon[/mm] auf (a-b)/2 > 0 gesetzt
Weil man damit einen Widerspruch bekommt.
> und wieso folgt daraus, dass n1 und n2 existieren?
Weil [mm] a_n \to [/mm] a und [mm] b_n \to [/mm] b
FRED
>
> Vielen Dank für eine kleine Erklärung :)
>
>
> PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mo 04.06.2012 | | Autor: | mathiii |
"Weil man damit einen Widerspruch bekommt. "
--> Okay... und ich dachte es gibt Regeln oder Ähnliches für die Bestimmung des [mm] \varepsilon [/mm] .
Bin ich richtig informiert, dass das [mm] \varepsilon [/mm] im Allgemeinen eine kleine aber nicht = 0 Zahl darstellt?
"Weil $ [mm] a_n \to [/mm] $ a und $ [mm] b_n \to [/mm] $ b "
--> Dank deines direkten Fingerzeigs auch verständlich!
Danke!
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Über [mm]\varepsilon[/mm] ist in der Regel nichts anderes als [mm]\varepsilon > 0[/mm] vorausgesetzt.
Für die Vorstellung ist es aber nützlich, sich [mm]\varepsilon[/mm] als "sehr klein", was auch immer das heißen mag, vorzustellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> "Weil man damit einen Widerspruch bekommt. "
> --> Okay... und ich dachte es gibt Regeln oder Ähnliches
> für die Bestimmung des [mm]\varepsilon[/mm] .
> Bin ich richtig informiert, dass das [mm]\varepsilon[/mm] im
> Allgemeinen eine kleine aber nicht = 0 Zahl darstellt?
das ist so etwas, was sich so manifestiert hat. Such mal nach "Halmos - How to write mathematics".
Generell könnte ich auch sagen: "Für jede Primzahl [mm] $\varepsilon [/mm] > 2$ gilt: [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist ungerade."
Aber in obigem Zusammenhang: Bei der Definition konvergenter Folgen ist das [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ - und zwar irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann steht da eine Aussage, die für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ etwas beinhaltet. Und wenn Du Dir die Aussage klar gemacht hast, siehst Du, dass sie bedeutend ist/wird, wenn sie für jedes "auch noch so kleine" [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt. Das Problem bei dem "auch noch so kleine" ist: Wann fängt denn solch' ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ an, klein genug zu sein - wenn es einen bestimmten Zweck erfüllt bzw. erfüllen soll? Muss ich mir da jedes Mal Gedanken machen, ob es nicht vielleicht doch zu groß war?
Logisch ist jedenfalls eines klar: Wenn etwas für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, dann auch "für jedes auch noch so kleine [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$". Außerdem müssen wir uns dann auch nicht Gedanken machen, dass wir vielleicht doch das [mm] $\varepsilon$ [/mm] eventuell doch noch verkleinern müssen/sollten...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
>
> ich habe Verständnisprobleme mit oben stehendem Beweis.
> Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen
> könnte.
>
> Also, mit Kontraposition hätte ich ebenfalls angefangen
> und auch denselben Ansatz gewählt.
> Doch warum wird hier [mm]\varepsilon[/mm] auf (a-b)/2 > 0 gesetzt
> und wieso folgt daraus, dass n1 und n2 existieren?
>
> Vielen Dank für eine kleine Erklärung :)
das kann man doch wunderschön anschaulich herleiten, was da bei dem Widerspruchsbeweis gemacht wird. Wenn [mm] $a=\lim a_n [/mm] > [mm] b=\lim b_n\,,$ [/mm] so ist $a-b > [mm] 0\,.$ [/mm]
Was wäre nun eine Idee? Jetzt lege ich um [mm] $a\,$ [/mm] einen [mm] $\epsilon_a$-Schlauch [/mm] um [mm] $a\,$ [/mm] und um [mm] $b\,$ [/mm] einen [mm] $\epsilon_b$-Schlauch, [/mm] wobei [mm] $\epsilon_a [/mm] > 0$ und [mm] $\epsilon_b [/mm] > 0$ sein sollten.
Wähle ich nun die [mm] $\epsilon_a$ [/mm] und [mm] $\epsilon_b$ [/mm] so, dass
[mm] $$\epsilon_a+\epsilon_b \le\;\; \underbrace{a-b}_{> 0}\,,$$
[/mm]
so liegen wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ alle bis auf endlich viele der [mm] $a_n$ [/mm] natürlich in dem offenen Intervall [mm] ($\epsilon_a$-Schlauch [/mm] um [mm] $a\,$) $(a-\epsilon_a,a+\epsilon_a)\,.$
[/mm]
(D.h. man hat [mm] $a_n \in (a-\epsilon_a,a+\epsilon_a)$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_1$ [/mm] mit einem [mm] $n_1 \in \IN\,.$)
[/mm]
Andererseits liegen wegen [mm] $b_n \to [/mm] b$ alle bis auf endlich viele der [mm] $b_n$ [/mm] in dem offenen Intervall [mm] $(b_n-\epsilon_b,b_n+\epsilon_b)\,.$
[/mm]
(D.h. man hat [mm] $b_n \in (b-\epsilon_b,b+\epsilon_b)$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_2$ [/mm] mit einem [mm] $n_2 \in \IN\,.$)
[/mm]
Und strenggenommen sieht man so sogar: Wenn man [mm] $N:=\max\{n_1,n_2\}$ [/mm] hat, dann gilt sogar FÜR ALLE $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$a_n=a-(a-a_n) \ge a-\epsilon_a \ge b+\epsilon_b [/mm] > [mm] b_n\,.$$
[/mm]
Also die Idee ist die: Betrachte ein um [mm] $a\,$ [/mm] symmetrisches offenes Intervall. Mache es so klein, dass [mm] $b\,$ [/mm] nicht darin liegt. Nimm' nun ein um [mm] $b\,$ [/mm] symmetrisches offenes Intervall und mache es so klein, dass es mit dem ersten offenen Intervall um [mm] $a\,$ [/mm] einen leeren Schnitt hat. Die Elemente des Intervalls um [mm] $a\,$ [/mm] sind alle echt größer als jene des Intervalls um [mm] $b\,,$ [/mm] weil nach Annahme $a > [mm] b\,.$ [/mm] Danach kommst Du mit der Definition der Konvergenz einer Folge dann zu einem Widerspruch.
Das einzige, was oben ein wenig anders gemacht wird: Man kann [mm] $\epsilon_a$ [/mm] und [mm] $\epsilon_b$ [/mm] auch beide gleich einem gemeinsamen [mm] $\epsilon$ [/mm] mit einem geeigneten [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] wählen - wenn man dieses genügend klein macht, dann schneiden sich die beiden offenen Intervalle (die dann hier quasi "gleiche Intervalllänge haben") dann auch nicht - und es macht den Beweis marginal kürzer...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Di 05.06.2012 | | Autor: | Marc |
> ich habe Verständnisprobleme mit oben stehendem Beweis.
> Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen
> könnte.
Du hast beim Upload der Datei angegeben, dass du den Inhalt der Datei selbst erstellt hast.
Wie kann es sein, dass du die Schritte nicht nachvollziehen kannst, obwohl du selbst der Autor bist?
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