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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Calculon |
| Aufgabe | Es sei X ein normierter Raum und U ⊂ X. Ein Punkt x ∈ X heißt Berührungspunkt von U, falls in jeder Umgebung von x mindestens ein Punkt aus U liegt.
Die Menge aller Berührungspunkte von U heißt die Abschließung von U.
Aufgabe 1. Man beweise:
a)
[mm] \overline{U} [/mm] ist die Menge aller Punkte aus X, gegen die eine Folge aus U konvergiert.
b) [mm] \overline{U} [/mm] ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X, die U enthält. |
Hallo,
ich bin neu hier, aber da ich nirgendwo eine Antwort zu meiner vermutlich recht einfachen Frage finden kann versuche ich's mal hier.
Ich habe mich an der Suchfunktion probiert bin aber zu keinem gescheiten Ergebnis gekommen, ich lasse mich aber gerne eines besseren belehren. ;)
Also meine Frage:
zu Aufgabe a habe ich keinen Beweissansatz, anschaulich ist mir das durchaus klar, aber ich stehe gerade total auf dem Schlauch wie ich das Beweisen soll, möglicherweise liegt es an der Offensichtlichkeit des Beweises ;)
Ich bin dankbar für jeden Denkanstoß in die richtige Richtung.
Vielen Dank schon mal
Calculon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Es sei X ein normierter Raum und U ⊂ X. Ein Punkt x ∈ X
> heißt Berührungspunkt von U, falls in jeder Umgebung von
> x mindestens ein Punkt aus U liegt.
> Die Menge aller Berührungspunkte von U heißt die
> Abschließung von U.
>
> Aufgabe 1. Man beweise:
> a)
> [mm]\overline{U}[/mm] ist die Menge aller Punkte aus X, gegen die
> eine Folge aus U konvergiert.
>
> b) [mm]\overline{U}[/mm] ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge
> von X, die U enthält.
> Hallo,
> ich bin neu hier, aber da ich nirgendwo eine Antwort zu
> meiner vermutlich recht einfachen Frage finden kann
> versuche ich's mal hier.
> Ich habe mich an der Suchfunktion probiert bin aber zu
> keinem gescheiten Ergebnis gekommen, ich lasse mich aber
> gerne eines besseren belehren. ;)
>
> Also meine Frage:
>
> zu Aufgabe a habe ich keinen Beweissansatz, anschaulich ist
> mir das durchaus klar, aber ich stehe gerade total auf dem
> Schlauch wie ich das Beweisen soll, möglicherweise liegt
> es an der Offensichtlichkeit des Beweises ;)
Streng genommen sind hier zwei Inklusionen zu zeigen.
Erste Inklusion [mm] (\overline{U} [/mm] aus der Def. ist in der Menge von a) enthalten):
Konstruiere einfach eine konvergente Folge zu [mm] x\in\overline{U}.
[/mm]
Nach Def. von [mm] \overline{U} [/mm] liegt also in jeder Umgebung von x ein Punkt aus U.
Insbesondere also auch in den Kugeln mit Radius 1/n um x für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Wähle aus jeder dieser Kugeln ein Folgenglied [mm] x_n [/mm] aus [...]
Zweite Inklusion:
Du musst zeigen, dass jeder Punkt [mm] x\in [/mm] X, zu dem es eine Folge von Punkten in U gibt, die gegen x konvergiert, auch in [mm] \overline{U} [/mm] liegt. Mache dazu einen Widerspruchsbeweis.
LG
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> Ich bin dankbar für jeden Denkanstoß in die richtige
> Richtung.
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> Vielen Dank schon mal
> Calculon
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Calculon |
Danke für die schnelle Antwort, hab's jetzt kapiert. ;)
Schöne Grüße
Calculon
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