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| Aufgabe | | Geben sie ein Beispiel einer konvergenten Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] mit [mm] a_{k}\not=0 [/mm] für alle k [mm] \in \IN, [/mm] bei der [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}} [/mm] nicht existiert |
Da soll ich mir wohl selber eine ausdenken oder wie?
Ich dachte auch, wenn man den Limes einer Reihe wie oben ausrechnet und es kommt was kleiner als 1 raus konvergiert die folge, als wie kann denn dann kein grenzwert rauskommen?
oder macht man das nur wenn man wissen will ob die reihe absolut konvergent ist?
wisst ihr vielleiht ein beispiel?
ich habe diese frage in kein anderes forum gestellt
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> Geben sie ein Beispiel einer konvergenten Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm] mit [mm]a_{k}\not=0[/mm] für alle k [mm]\in \IN,[/mm]
> bei der
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}}[/mm]
> nicht existiert
> Da soll ich mir wohl selber eine ausdenken oder wie?
Hallo,
ja. Allerdings lohnt es sich vermutlich, wenn Du nicht völlig wild experimentierst, sondern als Bausteine Dinge verwendest, die Du bereits kennengelernt hast.
>
> Ich dachte auch, wenn man den Limes einer Reihe wie oben
> ausrechnet und es kommt was kleiner als 1 raus konvergiert
> die folge,
Ja.
Aber wenn die Folge konvergiert, heißt es noch lange nicht, daß [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}} [/mm] < 1 gilt.
Das Kriterium ist nur hinreichend.
Beispiel [mm] \summe \bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert, aber lim [mm] \vmat{\bruch{n^2}{(n+1)^2}}=lim \vmat{\bruch{n^2}{(n+1)^2}} [/mm] =1.
> als wie kann denn dann kein grenzwert
> rauskommen?
Hier ist nun nach einer Folge gefragt, die Konvergiert, deren Quotient aber keinen Grenzwert hat.
Das ist der Fall, wenn der Quotient abwechselnd einen Wert oberhalb und unterhalb v. 1 annimmt.
> wisst ihr vielleiht ein beispiel?
Ja. Ich sag's aber nicht - gebe Dir aber die Bausteine in die Hand.
Betrachte die konvergenten Reihen [mm] \summe {\bruch{2}{2^n}} [/mm] und [mm] \summe {\bruch{(-1)^n}{2^n}} [/mm] und bau Dir was Schönes daraus.
Gruß v. Angela
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Also ich glaub ich hab nen knax in meinem denken ;) Ich dachte immer egal welche folge oder reihe hab, es kommt immer nur ein bestimmer grenzwert raus. Wie kann denn der springen. Wenn ich das [mm] \infty [/mm] einesetzte geht der wert doch immer gegen [mm] \infty [/mm] oder 0 und letztenendes kommt dann genau ein grenzwert raus.
ich hab deine gegebenen Folgen mal addiert, weil wenn man zwei konvergente folgen addiert komm ja wieder eine konvergente folge raus.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{\bruch{2}{2^{n}}+\bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}}= \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{\bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n}}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{\bruch{2+(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}}{\bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n}}}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{2^{n}}{2+(-1)^{n}}\bruch{2+(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{1}{2}\bruch{2+(-1)^{n+1}}{2+(-1)^{n}}}= \bruch{1}{2}
[/mm]
da kommt ja auch ein fester wert raus...
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> Also ich glaub ich hab nen knax in meinem denken ;) Ich
> dachte immer egal welche folge oder reihe hab, es kommt
> immer nur ein bestimmer grenzwert raus.
WENN es einen Grenzwert gibt, ist dieser eindeutig.
Ich habe aber nicht über einen springenden Grenzwert gesprochen, sonderne darüber, daß der Quotient ja zwischen zwei Werten springen könnte, und dann gibt es den Grenzwert des Quotienten nicht.
Die Folge 1,-1,1,-1,1,-1 ... hat ja auch keinen Grenzwert.
> Wie kann denn der
> springen. Wenn ich das [mm]\infty[/mm] einesetzte geht der wert doch
> immer gegen [mm]\infty[/mm] oder 0
Die Folge a-n geht im Fall dr Konvergenz der Reihe [mm] \summe a_n [/mm] gegen Null, aber damit ist ja nichts über den zu betrachtenden Quotienten gesagt.
> und letztenendes kommt dann genau
> ein grenzwert raus.
Nein, eben nicht unbedingt.
Es könnte sein, daß die Folge der Quotienten keinen Grenzwert hat.
>
> ich hab deine gegebenen Folgen mal addiert,
Gute Idee!
weil wenn man
> zwei konvergente folgen addiert komm ja wieder eine
> konvergente folge raus.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\vmat{\bruch{2}{2^{n}}+\bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}}= \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{\bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n}}}[/mm]
Wozu hast Du die Betragsstriche da stehen? die sind doch überflüssig.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{\bruch{2+(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}}{\bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n}}}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{2^{n}}{2+(-1)^{n}}\bruch{2+(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}}=
> \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{1}{2}\bruch{2+(-1)^{n+1}}{2+(-1)^{n}}}= \bruch{1}{2}[/mm]
Dieser Schritt stimmt nicht.Hier solltest Du nochmal messerscharf nachdenken.
Oder rechne das mal für ein paar n aus.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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> da kommt ja auch ein fester wert raus...
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ahhh, ich glaub ich habs raus. Für alle ungeraden n geht der limes gegen 1,5 und bei allen geraden n geht der limes gegen 1/6!! Oder?
also springt er immer zwischen diesen beiden werten hin und her... also kein fester grenzwert! :D
cool! Vielen dank
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> ahhh, ich glaub ich habs raus. Für alle ungeraden n geht
> der limes gegen 1,5 und bei allen geraden n geht der limes
> gegen 1/6!! Oder?
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> also springt er immer zwischen diesen beiden werten hin und
> her... also kein fester grenzwert!
So ist es.
Gruß v. Angela
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