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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 14.01.2007 | | Autor: | CPH |
f(x)= [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] wenn x [mm] \not= [/mm] 0
f(x)= 1 wenn x=0
z.z f ist stetig im Nullpunkt.
sei [mm] (x_n)_n [/mm] Nullfolge.
also
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n [/mm] =0
wenn f stetig ist gilt:
[mm] f(x_n) [/mm] ist ebenfalls konvergent:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) [/mm] =
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \bruch{sin(x_n)}{x_n} \right)=f(0)=1
[/mm]
wie kann ich diese Kovergenz einfach zeigen:
L'hospital kenne ich nicht,
die [mm] \varepsilon [/mm] Konvergenzdefinition macht mir probleme:
denn wie soll ich wenn ich diesen Ausdruck habe:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N :
[mm] \left| \bruch{sin(x_N)}{x_N} \right| <\varepsilon
[/mm]
also wie soll ich den Betrag so auflösen, so dass N abhängig von epsilon ist?
Gibt es vielleicht noch eine viel einfachere lösung????
MFG
Christoph Plonka
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> f(x)= [mm]\bruch{sin(x)}{x}[/mm] wenn x [mm]\not=[/mm] 0
> f(x)= 1 wenn x=0
>
> z.z f ist stetig im Nullpunkt.
Hallo,
um die Stetigkeit in 0 zu zeigen, mußt Du ja zeigen, daß [mm] \limes_{x\rightarrow 0}=f(0)=1 [/mm] gilt.
Also ist zu zeigen:
Zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0, so daß für alle x mit [mm] |x-0|<\delta [/mm] gilt: [mm] |\bruch{sin(x)}{x}-1|< \varepsilon.
[/mm]
Die Abschätzung wird Dir gelingen, wenn Du Dich mit der Reihenentwicklung des Sinuns und den Restgliedern vertraut machst.
Gruß v. Angela
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