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| Aufgabe | untersuchen sie auf konvergenz und berechnen sie den grenzwert:
[mm] \produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch{1}{k^{2}}) [/mm] |
ich denke mal der grenzwert ist 0,5. aber wie berechne ich das sauber. hab bisher mal nur eingesetzt.
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Hiho,
formen wir mal ein bisschen um:
[mm]\produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch{1}{k^{2}}) = \produkt_{k=2}^{n} (\bruch{k^2 - 1}{k^{2}}) = \produkt_{k=2}^{n} \bruch{(k-1)(k+1)}{k^2}[/mm]
Nun schreib mal ein paar Glieder hin und überlege dir, wie du das umschreiben kannst mithilfe von Fakultäten.
MFG,
Gono.
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danke erstmal. würde dann auf folgendes kommen:
[mm] \bruch{(n+1)!(n-1)!}{(n!)^{2}}
[/mm]
und nach dem kürzen das rausbekommen: [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] was als grenzwert 1 ergibt. ist das so ok?
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Hallo,
> danke erstmal. würde dann auf folgendes kommen:
> [mm]\bruch{(n+1)!(n-1)!}{(n!)^{2}}[/mm]
> und nach dem kürzen das rausbekommen: [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm] was als grenzwert 1 ergibt. ist das so ok?
Noch nicht ganz, überlege dir folgendes: [mm] \produkt_{k=2}^{n} \bruch{(k-1)(k+1)}{k^2} [/mm] - da das Produkt bei k=2 startet, läuft k+1 als Produkt von 3 bis n+1, somit wäre korrekt: [mm] \bruch{\bruch{(n+1)!}{2}(n-1)!}{(n!)^{2}}.
[/mm]
Ich hoffe das war verständlich.
Viele Grüße
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