konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:31 Sa 07.12.2013 | | Autor: | whats-app1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz (Beschränktheit und Monotonie) und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
a0 := 1/2, an+1 := a^2n + 2/3 , n ∈ N. |
Ich habe leider gar keinen Ansatz zu dieser Frage.
ICH hoffe man kann mir hier helfen.
ANSICH über all wird es nur mit - [mm] 1^n [/mm] erklärt das mir aber nicht weiter hilft
ICH bedanke Mich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie auf Konvergenz (Beschränktheit und
> Monotonie) und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
> a0 := 1/2, an+1 := a^2n + 2/3 , n ∈ N.
[mm] $a_0:=1/2\,$ [/mm] ist klar. Aber was meinst Du danach:
[mm] $a_{n+1}:=a^{2n}+\frac{2}{3}$ [/mm] (so sieht's eigtl. aus)
oder
[mm] $a_{n+1}^:=a^{2n+2/3}\,$?
[/mm]
> Ich habe leider gar keinen Ansatz zu dieser Frage.
Dann schreibe uns hier mal die ersten 10 Folgenglieder hin. Wenn man
"theoretisch" (noch) nicht durchblickt, hofft man oft, eine Intuition durch
"die Praxis" zu gewinnen.
Generell bei solchen Aufgaben (rekursiv definierte Folge!) hat man meist
zwei Stichpunkte, die man probieren kann:
1. Kann man vielleicht die Formel "explizit" angeben (d.h. [mm] $a_n$ [/mm] nur noch in
Abhängigkeit von [mm] $n\,$ [/mm] schreiben - ohne Abhängigkeit von anderen
Folgengliedern)?
2. Hauptsatz über monotone Folgen. (Das heißt, man hofft, dass man die
folgenden Fragen beantworten kann:
a) Ist die Folge nach oben (nach unten) beschränkt?
b) Ist die Folge monoton wachsend (monoton fallend)?
Wobei man natürlich - siehe den erwähnten Satz - nichts davon hätte, wenn
man nur beweisen könnte, dass die Folge nach oben beschränkt, aber monoton
fallend wäre... Das muss also "zusammenpassen"!)
> ICH hoffe man kann mir hier helfen.
>
> ANSICH über all wird es nur mit - [mm]1^n[/mm] erklärt das mir
> aber nicht weiter hilft
Da weiß ich nicht, was Du jetzt sagst oder fragst. Ich verstehe Dich an
der Stelle hier schlicht nicht. Kannst Du das umformulieren?
(Übrigens: [mm] $-\,1^n=-1\,,$ [/mm] Du meinst sicher [mm] $(\;-\;1)^n$ [/mm] [mache Dir den Unterschied bewußt]!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Sa 07.12.2013 | | Autor: | whats-app1 |
Hallo,
Danke für deine schnelle Antwort. Sorry hab die Gleichung falsch aufgeschrieben.
Die Funktion lautet: An+1= [mm] (An^2 [/mm] +2)/3
wenn ich immer An erweitere bekomme ich zZahlen raus, die näher eins laufen. Das heisst ja das meine Funktion zu 1 konventiert. Und somit ist es nach oben beschränkt.
Dem entsprechend kann ich ja dann theoretisch auch sagen das ich eine monoton wachsende Funktion habe.
Mein Problem ist gerade, ich weiß nicht wie ich diesen Lösungsweg schreiben soll. Also logisch und schriftlich habe ich es durch Marcel nachvollziehen konnen. Das Problem bereitet mir nur noch das aufschreiben in zahlen
LG Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Sa 07.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Danke für deine schnelle Antwort. Sorry hab die Gleichung
> falsch aufgeschrieben.
>
> Die Funktion lautet: An+1= [mm](An^2[/mm] +2)/3
Das ist doch völlig sinnlos !
Lautet das [mm] A_{n+1}=[/mm] [mm](A_n^2[/mm] +2)/3 oder [mm] A_{n+1}=[/mm] [mm](A_{n^2}[/mm] +2)/3 ?
FRED
>
> wenn ich immer An erweitere bekomme ich zZahlen raus, die
> näher eins laufen. Das heisst ja das meine Funktion zu 1
> konventiert. Und somit ist es nach oben beschränkt.
>
> Dem entsprechend kann ich ja dann theoretisch auch sagen
> das ich eine monoton wachsende Funktion habe.
>
> Mein Problem ist gerade, ich weiß nicht wie ich diesen
> Lösungsweg schreiben soll. Also logisch und schriftlich
> habe ich es durch Marcel nachvollziehen konnen. Das Problem
> bereitet mir nur noch das aufschreiben in zahlen
>
>
> LG Danke
>
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Hallo
Die Funktion lautet so.
[mm]A_{n+1}=[/mm] [mm](A_n^2[/mm] +2)/3
Ergänzung Marcel: Es war [mm] $A_0=1/2\,.$
[/mm]
LG Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 So 08.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Die Funktion lautet so.
> [mm]A_{n+1}=[/mm] [mm](A_n^2[/mm] +2)/3
>
> Ergänzung Marcel: Es war [mm]A_0=1/2\,.[/mm]
>
>
> LG Danke
>
>
1. Zeige mit Induktion: [mm] A_n [/mm] > 0 für alle n [mm] \in \IN_0
[/mm]
2. Zeige mit Induktion: [mm] A_n \le [/mm] 1 für alle n [mm] \in \IN_0
[/mm]
3. Zeige mit Induktion: [mm] A_n \le A_{n+1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 08.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
neben Freds Tipps geht's ja auch um die Bestimmung des Grenzwertes:
> Hallo
>
> Die Funktion lautet so.
> [mm]A_{n+1}=[/mm] [mm](A_n^2[/mm] +2)/3
benutze dazu, dass, wenn
[mm] $g:=\lim_{n \to \infty} A_n$
[/mm]
existiert, dann auch
[mm] $g=\lim_{n \to \infty} A_{n+1}$
[/mm]
gilt. Folgere damit
[mm] $g=\frac{g^2+2}{3}$
[/mm]
und bestimme die Lösungsmenge dieser Gleichung in [mm] $g\,.$ [/mm] Mache Dir dann
Gedanken, welche der Lösungen dieser Gleichung die einzig relevante sein
muss (überlege Dir mit Freds Tipps, welche Einschränkungen an [mm] $g\,$ [/mm] sich damit
ergeben müssen - also insbesondere die Einschränkungen, die man erhält,
wenn man sich anguckt, wodurch die Folge beschränkt ist).
Gruß,
Marcel
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