konvergenz beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Mo 17.11.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | sei [mm] (a_n) [/mm] konvergent mit [mm] a_n>0 \forall n\in \IN [/mm] und [mm] b_n=(a_1*a_2*...*a_n)^\bruch{1}{n}.
[/mm]
zeige [mm] (b_n) [/mm] ist konvergent und berechne den grenzwert. |
also eine idee ist:
[mm] (a_n) [/mm] kvg [mm] \gdw a_n [/mm] ist beschränkt [mm] \gdw sup|a_n|<\infty
[/mm]
es folgt [mm] |a_1*a_2*...*a_n|\infty<\infty
[/mm]
und dann [mm] |b_n|<\infty. [/mm] also ist [mm] b_n [/mm] beschränkt und konvergiert folglich.
so wird das wahrscheinlich nicht wirklich gehn, oder? ich verstehe auch nicht, ob ich aus der beschränktheit ein sup oder inf ableiten soll (es kann ja beides existieren--muss aber nicht??)
dann fällt mir noch ne andere regel ein:
wenn [mm] a_n [/mm] kvg, ex. [mm] lim(a_n) [/mm] und es gilt: [mm] lim(a_1*a_2....)=lima_1*lima_2*...*lima_n. [/mm] kann ich das [mm] ^\bruch{1}{n} [/mm] da einfach so einfügen und hätte dann gezeigt, dass auch [mm] b_n [/mm] kvg???
wär nett, wenn mir jmd weiterhelfen könnte...
grüße
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Hallo!
Mein Vorschlag wäre ja: Erst Potenzgesetze, dann Grenzwertsätze, dann bekannte Grenzwertsätze benutzen! Bsp:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_{1}*...*a_{n}\right)^{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{1})^{\bruch{1}{n}}*...*(a_{n})^{\bruch{1}{n}}\right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{1})^{\bruch{1}{n}}\right) [/mm] * ... * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{n})^{\bruch{1}{n}}\right) [/mm] = ???$
Wie könnte man die einzelnen Limites auswerten, wenn man weiß dass [mm] a_{n} [/mm] beschränkt ist...? Da ich mir nicht sicher bin, ob die Schritte erlaubt sind, lasse ich die Frage mal offen.
Stefan.
PS.: Aus Beschränktheit folgt nicht Konvergenz, sondern da bräuchte man auch noch Monotonie... 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:48 Mo 17.11.2008 | | Autor: | jura |
welche schritte bräuchte ich noch, um zu folgern, dass [mm] b_n [/mm] konvergiert?
ist es sinnvoll, die einzelnen faktoren zu wurzeln umzuschreiben? kann ich dann folgern, dass der jeweilige faktor gegen 1 kvg??
wär schön, wenn mir jemand auch noch auf die fragen von oben antworten könnte!
besten dank...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steppenhahn,
> Hallo!
>
> Mein Vorschlag wäre ja: Erst Potenzgesetze, dann
> Grenzwertsätze, dann bekannte Grenzwertsätze benutzen!
> Bsp:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_{1}*...*a_{n}\right)^{\bruch{1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{1})^{\bruch{1}{n}}*...*(a_{n})^{\bruch{1}{n}}\right) = \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{1})^{\bruch{1}{n}}\right) * ... * \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{n})^{\bruch{1}{n}}\right) = ???[/mm]
>
> Wie könnte man die einzelnen Limites auswerten, wenn man
> weiß dass [mm]a_{n}[/mm] beschränkt ist...? Da ich mir nicht sicher
> bin, ob die Schritte erlaubt sind, lasse ich die Frage mal
> offen.
leider sind sie nicht erlaubt. Du weißt doch sicherlich [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e\,.$
[/mm]
Würde ich da analog vorgehen:
[mm] $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)*\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)*...*\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)=1*1*...*1=1\,,$$
[/mm]
also wäre [mm] $e=1\,.$ [/mm] Widerspruch.
Das Problem ist, dass mit wachsendem [mm] $\,n\,$ [/mm] auch die Anzahl der Faktoren wächst, also dass Du ein unendliches Produkt erhälst. Die Regel
[mm] $a^{(1)}_n \to a^{(1)}\,,$ [/mm] ... [mm] ,$\,a^{(k)}_n \to a^{(k)}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
[mm] $a^{(1)}_n [/mm] * ... [mm] *a^{(k)}_n \to a^{(1)}*...*a^{(k)}$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$) [/mm]
gilt für endlich viele [mm] $\,k\,$, [/mm] diese [mm] $\,k\,$ [/mm] sind dabei unabhängig von [mm] $\,n\,\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo Steppenhahn,
>
> > Hallo!
> >
> > Mein Vorschlag wäre ja: Erst Potenzgesetze, dann
> > Grenzwertsätze, dann bekannte Grenzwertsätze benutzen!
> > Bsp:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_{1}*...*a_{n}\right)^{\bruch{1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{1})^{\bruch{1}{n}}*...*(a_{n})^{\bruch{1}{n}}\right) = \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{1})^{\bruch{1}{n}}\right) * ... * \limes_{n\rightarrow\infty}\left((a_{n})^{\bruch{1}{n}}\right) = ???[/mm]
>
> >
> > Wie könnte man die einzelnen Limites auswerten, wenn man
> > weiß dass [mm]a_{n}[/mm] beschränkt ist...? Da ich mir nicht sicher
> > bin, ob die Schritte erlaubt sind, lasse ich die Frage mal
> > offen.
>
> leider sind sie nicht erlaubt. Du weißt doch sicherlich
> [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e\,.[/mm]
>
> Würde ich da analog vorgehen:
> [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)*\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)*...*\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)=1*1*...*1=1\,,[/mm]
>
> also wäre [mm]e=1\,.[/mm] Widerspruch.
>
> Das Problem ist, dass mit wachsendem [mm]\,n\,[/mm] auch die Anzahl
> der Faktoren wächst, also dass Du ein unendliches Produkt
> erhälst. Die Regel
> [mm]a^{(1)}_n \to a^{(1)}\,,[/mm] ... ,[mm]\,a^{(k)}_n \to a^{(k)}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]a^{(1)}_n * ... *a^{(k)}_n \to a^{(1)}*...*a^{(k)}[/mm] ([mm]n \to \infty[/mm])
> gilt für endlich viele [mm]\,k\,[/mm], diese [mm]\,k\,[/mm] sind dabei
> unabhängig von [mm]\,n\,\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo,
genau das dachte ich mir ^^
Stefan.
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> sei [mm](a_n)[/mm] konvergent mit [mm]a_n>0 \forall n\in \IN[/mm] und
> [mm]b_n=(a_1*a_2*...*a_n)^\bruch{1}{n}.[/mm]
> zeige [mm](b_n)[/mm] ist konvergent und berechne den grenzwert.
> also eine idee ist:
> [mm](a_n)[/mm] kvg [mm]\gdw a_n[/mm] ist beschränkt [mm]\gdw sup|a_n|<\infty[/mm]
> es
> folgt [mm]|a_1*a_2*...*a_n|\infty<\infty[/mm]
> und dann [mm]|b_n|<\infty.[/mm] also ist [mm]b_n[/mm] beschränkt und
> konvergiert folglich.
nein, wie schon jemand gesagt hat, folgt aus der beschränktheit nicht die konvergenz!
>
> so wird das wahrscheinlich nicht wirklich gehn, oder? ich
> verstehe auch nicht, ob ich aus der beschränktheit ein sup
> oder inf ableiten soll (es kann ja beides existieren--muss
> aber nicht??)
>
> dann fällt mir noch ne andere regel ein:
> wenn [mm]a_n[/mm] kvg, ex. [mm]lim(a_n)[/mm] und es gilt:
> [mm]lim(a_1*a_2....)=lima_1*lima_2*...*lima_n.[/mm]
du meinst wahrscheinlich die produktregel für limiten, die hier aber keinen sinn hat (was wäre denn [mm] lim(a_1) [/mm] wenn [mm] a_1 [/mm] das erste glied von [mm] a_n [/mm] ist?)
ausserdem gilt diese produktregel nur für eine feste anzahl von faktoren
[mm]lim(a_n^{(k)})=lim(a_n^{(k)})*...*lim(a_n^{(k)})[/mm]
wobei die [mm] a_n^{(k)} [/mm] verschiedene folgen sind, k aber eine feste zahl ist! bei dir geht n gegen unendlich!
> kann ich das
> [mm]^\bruch{1}{n}[/mm] da einfach so einfügen und hätte dann
> gezeigt, dass auch [mm]b_n[/mm] kvg???
>
> wär nett, wenn mir jmd weiterhelfen könnte...
> grüße
ich glaube hier muss man AG-Ungleichung anwenden
[mm] n/({\summe_{i=1}^{n} 1/a_n}) <= (a_1*...*a_n)^{1/n} <= ({\summe_{i=1}^{n} a_i )/n [/mm]
die rechte ungl. ist AG-ungl. wobei mit der linken bin ich mir nicht sicher.
wenn [mm] a_n [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch [mm] ({\summe_{i=1}^{n} a_i )/n [/mm] und zwar auch gegen a. damit haben sich die leute hier beschäftigt https://matheraum.de/read?t=470487
falls die obene ungleichung gilt, dann könnte man die konvergenz des terms links gegen a vielleicht irgendwie ähnlich zeigen. dann hätte man
[mm]d_n <= b_n <= c_n [/mm] wobei [mm] d_n --> a [/mm] und [mm] c_n --> a [/mm] und damit auch [mm] b_n --> a [/mm]
ist aber nur eine idee
gruss strangelet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mo 17.11.2008 | | Autor: | strangelet |
omg, korrektur zu meiner produktregel, es sollte natürlich so aussehen:
$ [mm] lim(a_n^{(1)}*...*a_n^{(k)})=lim(a_n^{(1)})\cdot{}...\cdot{}lim(a_n^{(k)}) [/mm] $
sorry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mo 17.11.2008 | | Autor: | jura |
ok, man kommt damit dann also auf den "sandwich-satz" raus, oder? is mir jetzt aber zu umständlich und ich würdes nur woanders abschreiben...
also bringt mir der 2.ansatz, die prduktregel gar nix für den beweis.
mit meinem 1.ansatz kann ich zumindest die beschränktheit von [mm] b_n [/mm] zeigen. wenn ich dann noch die monotonie beweisen könnte, hätte ich doch die konvergenz, oder??
und wenn ich die grenzwertsätze hier nich anwenden kann, wie berechne ich dann den grenzwert?
dank und gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, man kommt damit dann also auf den "sandwich-satz" raus,
> oder? is mir jetzt aber zu umständlich und ich würdes nur
> woanders abschreiben...
>
> also bringt mir der 2.ansatz, die prduktregel gar nix für
> den beweis.
die Produktregel für endlich viele konvergente Folgen? Nein. Außerdem ist [mm] $(b_n)_n$ [/mm] nichts anderes als ![[]](/images/popup.gif) ein unendliches Produkt.
> mit meinem 1.ansatz kann ich zumindest die beschränktheit
> von [mm]b_n[/mm] zeigen. wenn ich dann noch die monotonie beweisen
> könnte, hätte ich doch die konvergenz, oder??
Und wenn ich nun alleine die Folge [mm] $a_1=1/2\,,$ $a_2=2\,,$ $a_3=1/2\,,$ $a_4=2\,,$ $a_5=1/2\,,$ $a_6=2\,$ [/mm] und ab nun [mm] $a_k=2$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] 7$ betrachte, dann wirst Du schon Probleme mit der Monotonie von [mm] $(b_n)_n$ [/mm] haben. (Da kann man nun noch beliebig viele "wildere" Funktionen hinschreiben.)
Ich denke nicht, dass dieser Ansatz (ohne weiteres) zielführend ist.
> und wenn ich die grenzwertsätze hier nich anwenden kann,
> wie berechne ich dann den grenzwert?
So, wie vorgeschlagen: Sandwichkriterium. Für die Abschätzung nach oben wurde ja die Ungleichung zwischen dem arithm. und geom. Mittel vorgeschlagen, für die nach unten wurde keine Begründung gegeben. Vielleicht findet sich ja aber nichtsdestoweniger bei den hier aufgezählten Ungleichungen etwas passendes (such halt auch mal direkt nach denen bei Wiki, z.B. Jensensche Ungleichung...)
Leider muss ich nun los, daher hoffe ich, dass Du was passendes findest, was Dir hoffentlich auch schon geläufig ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mo 17.11.2008 | | Autor: | jura |
ok, kann zur abschätzung nach unten das harmonische mittel wählen, oder?
nun muss ich zeigen, dass die folge harmonischer mittel und die folge arithmetischer mittel konvergieren und zwar gegen den gleichen grenzwert.
ich würd halt einfach sagen: wenn [mm] (a_n) [/mm] nach vor. kvg, dann auch die folge arithm/harm. mittel---aber wie beweis ichs? und wie berechne ich ganz konkret den grenzwert???
dank und gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die Antwort steht nun hier.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, kann zur abschätzung nach unten das harmonische mittel
> wählen, oder?
genau, das wurde von strangelet ja auch vorgeschlagen. Ihm (und auch mir) war aber wohl der Name entfallen.
> nun muss ich zeigen, dass die folge harmonischer mittel und
> die folge arithmetischer mittel konvergieren und zwar gegen
> den gleichen grenzwert.
Strangelet hatte Dir schon diesen Link für das arithmetische Mittel mitgeteilt. Man findet die Aussage für das arithm. Mittel auch unter dem Namen Cauchyscher Grenzwertsatz.
Damit gilt dann, jedenfalls wenn [mm] $a_n \to [/mm] a$ mit [mm] $\green{a \not=0}\,,$ [/mm] dann auch
[mm] $$\frac{n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}=\left(\frac{\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}{n}\right)^{-1} \to (1/a)^{-1}=a \;\;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
wobei Du bitte beachtest, dass im Falle $a [mm] \not=0$ [/mm] dann [mm] $\frac{1}{a_n} \to \frac{1}{a}$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Den Fall $a=0$ muss man dann noch gesondert betrachten.
> ich würd halt einfach sagen: wenn [mm](a_n)[/mm] nach vor. kvg,
> dann auch die folge arithm/harm. mittel---aber wie beweis
> ichs? und wie berechne ich ganz konkret den grenzwert???
Ich sage Dir mal, wie man das vernünftig aufschreiben würde:
1. Man verweise auf den Cauchyschen Grenzwertsatz (oder man formuliere diese Aussage und beweist sie selbst).
2. Zeige, dass aus dem Cauchyschen Grenzwertsatz folgt, dass, falls alle [mm] $a_n [/mm] >0$ sind und falls [mm] $a_n \to [/mm] a$ mit $a [mm] \not=0$ [/mm] gilt, dass dann auch [mm] $\overline{x}_{\text{harmon}}$ [/mm] gegen [mm] $\,a\,$ [/mm] strebt.
3. Aus [mm] $a_n [/mm] > 0$ folgt, dass, wenn nun auch [mm] $a_n \to [/mm] a$ gilt, dass dann auch $a [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
1. Fall:
Es sei $a > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gilt (weil (in den Wiki-Bezeichnungen) [mm] $\overline{x}_{\text{harm}}$ [/mm] und [mm] $\overline{x}_{\text{arithm}}$ [/mm] eigentlich von [mm] $\,n\;$ [/mm] (und natürlich der gegebenen Folge) abhängt, schreibe ich mal [mm] $\overline{x}_{\text{harm}}(n)$ [/mm] bzw. [mm] $\overline{x}_{\text{arithm}}(n)$):
[/mm]
[mm] $$a\leftarrow\overline{x}_{\text{harm}}(n) \le b_n \le \overline{x}_{\text{arithm}}(n) \to a \;\;\; (n \to \infty)\,.$$
Also gilt im Falle $a > 0$ dann $b_n \to a$ ($n \to \infty$).
2. Fall:
Es sei $a=0\,.$ Schau' nun mal, ob bzw. wie weit Du alleine weiter kommst...
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:51 Di 18.11.2008 | | Autor: | jura |
aus dem cauchyschen grenzwertsatz folgt doch dann für a=0, dass auch das arithm. mittel gegen 0 geht und folgich dann auch das harmonische mittel, oder?
also hat auch [mm] b_n [/mm] mehrere mögliche grenzwerte: entweder 0 oder beliebig größer 0 ?
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> aus dem cauchyschen grenzwertsatz folgt doch dann für a=0,
> dass auch das arithm. mittel gegen 0 geht und folgich dann
> auch das harmonische mittel, oder?
Hallo,
dieses "folglich" stimmt, müßte aber gezeigt werden.
> also hat auch [mm]b_n[/mm] mehrere mögliche Grenzwerte: entweder 0
> oder beliebig größer 0 ?
[mm] b_n [/mm] hat natürlich immer nur einen Grenzwert.
Daß der aufgrund der Machart von [mm] (b_n) [/mm] vom Grenzwert von [mm] (a_n) [/mm] abhängt, ist ja auch "rein gefühlsmäßig" nicht verwunderlich.
Wenn [mm] (a_n) [/mm] den Grenzwert a hat, ist dies auch der Grenzwert von [mm] (b_n). [/mm] Insofern variert der Grenzwert von doch [mm] (b_n) [/mm] überhaupt nicht.
Gruß v. Angela
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