konvergenz fast gleichmäßig versus gleichmäßig konvergent fast überall < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Mi 28.07.2004 | | Autor: | andreas |
guten morgen
ich habe ein paar verständnis-fragen zum unterscheid von konvergenz fast gleichmäßig und gleichmäßig konvergent fast überall.
hier die (in der vorlesung gegebenen) definitionen:
[mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \text{ Maßraum} [/mm]
[m] f_n , f:(\Omega, \mathcal{A}) \longrightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}) \text{ (also } \matrhcal{A}-\mathcal{B} \text{-messbar) } (n \in \mathbb{N}). \text{ Die Folge } (f_n) \text{ heißt konvergent fast gleichmäßig, wenn für jedes } \delta > 0 \text{ ein } \Omega_\delta \in \mathcal{A} \text{ exisitert so, dass } \mu(\Omega_\delta) \leq \delta, \; f_n \longrightarrow f \text{ gelichmäßig auf } \Omega_\delta^\complement. [/m]
[m] f_n , f \in \mathcal{L}^\infty. \; (f_n) \text{ heißt gegen } f \text{ gleichmäßig konvergent fast überall, wenn } \exists \; \Omega' = \Omega \text{-nullmenge mit } f_n \longrightarrow f \text{ gleichmäßig in } \Omega'^\complement. [/m]
wobei [m] \mathcal{L}^\infty [/m] den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen darstellen soll.
nun meine erste Frage:
was ist eine [mm] $\Omega$-nullmenge? [/mm] die eigenschaft 'nullmenge' hängt doch auch wesentlich von der sigma-algebra und dem Maß ab?
und:
unterscheiden sich die begriffe nur dadurch, dass die funktionen bei 'konvergenz fast gleichmäßig' aus einer größerern klasse kommen als bei 'gleichmäßig konvergent fast überall'? oder gibt es da noch größere unterschiede?
andreas
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Gruesse!
Also, der erste Begriff ist schwaecher... dazu muss man nur wissen, was eine Nuillmenge ist:
Eine Teilmenge [mm] $\Omega' \subseteq \Omega$ [/mm] heisst Nullmenge, falls [mm] $\mu(\Omega') [/mm] = 0$. Das ist alles, einfach eine Menge mit Mass 0.
Im zweiten Fall muss man also eine Nullmenge finden, in deren Komplement man gleichmaessige Konvergenz hat. Im ersten Fall genuegt es nur fuer jedes beliebig kleine [mm] $\delta$ [/mm] eine Menge vom Mass kleiner als [mm] $\delta$ [/mm] zu finden, auf deren Komplement gleichmaessige Konvergenz vorliegt.
Wie man sofort sieht, folgt die erste Eigenschaft aus der zweiten: wenn ich diese Nullmenge habe, kann ich sie fuer jedes [mm] $\delta$ [/mm] als [mm] $\Omega_\delta$ [/mm] nehmen und kann die erste Eigenschaft nachweisen. Die Rueckrichtung gilt natuerlich nicht, da selbst fuer [mm] $\delta \to [/mm] 0$ zwar eine Folge von Mengen [mm] $\Omega_\delta$ [/mm] immer kleineren Inhaltes entsteht, die aber nichts miteinander zu tun haben muessen...
Ich hoffe, das klaert die Begriffe ein wenig. 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lars,
> Eine Teilmenge [mm]\Omega' \subseteq \Omega[/mm] heisst Nullmenge,
> falls [mm]\mu(\Omega') = 0[/mm]. Das ist alles, einfach eine Menge
> mit Mass 0.
Das kenne ich (allgemein etwas) anders. Das, was du schreibst, kenne ich unter der Voraussetzung, dass [mm] $\Omega' \subseteq \Omega$ [/mm] und [m]\Omega' \in A[/m] ($A$ war ja hier eine Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega$).
[/mm]
Ansonsten kenne ich folgendes:
Eine Menge [mm] $\Omega' \subseteq \Omega$ [/mm] heisst Nullmenge, falls eine Menge $B [mm] \in [/mm] A$ existiert, so dass gilt:
(i) [mm] $\Omega' \subseteq [/mm] B$ und
(ii) [mm] $\mu(B) [/mm] = 0$.
In Worten:
Eine Menge [mm] $\Omega' \subseteq \Omega$ [/mm] heißt Nullmenge, falls es in der Sigma-Algebra eine Menge mit Maß 0 gibt, die [mm] $\Omega'$ [/mm] überdeckt.
Wenn du magst, kannst du ja noch etwas dazu sagen...
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mi 28.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi marcel
schreibe ich mal was dazu:
über das selbe thema hatten stefan und ich auch schonmal einen meinungsaustauch (https://matheraum.de/read?f=17&t=1477&i=1482/). das scheint wohl tatsächlich hin und wieder mal anders definiert zu werden. ich habe jetzt mal in einem aufschreib einer anderen vorlseung nachgesehen und dort wurde nullmenge so defineiert, wie du das angegeben hast. andererseits wurde nullmenge in der vorlesung, aus der die oben von mir angegebenen definitionen stammen, so definiert wie von Lars verwendet.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
> hi marcel
>
> schreibe ich mal was dazu:
Gerne.
> über das selbe thema hatten stefan und ich auch schonmal
> einen meinungsaustauch (https://matheraum.de/read?f=17&t=1477&i=1482/).
Danke für den Link (müßte aber https://matheraum.de/read?f=17&t=1477&i=1481 sein, oder? Bei deinem Link erhalte ich einen "internen Programmfehler", warum auch immer...)! Dann steh ich wenigstens nicht alleine mit der anderen Definition da! 
> das scheint wohl tatsächlich hin und wieder mal anders
> definiert zu werden. ich habe jetzt mal in einem aufschreib
> einer anderen vorlseung nachgesehen und dort wurde
> nullmenge so defineiert, wie du das angegeben hast.
Ehrlich gesagt, finde ich die Definition, die ich angegeben habe, auch sinnvoller. Man bezieht dort ja auch nicht messbare Mengen ein (was bei eurer Definition nicht der Fall ist), und für messbare Mengen bleibt es gleich. Es ist also eine Erweiterung eurer Definition.
Warum man das manchmal so und manchmal anders definiert, weiß ich nicht. Bei Wikipedia wird auch eure Definition benutzt:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Ma%DFtheorie#Nullmenge.2C_vollst.E4ndig.2C_fast_.FCberall
Naja, da gehen die Meinungen wohl auseinander...
> andererseits wurde nullmenge in der vorlesung, aus der die
> oben von mir angegebenen definitionen stammen, so definiert
> wie von Lars verwendet.
Nun gut, wenn ihr es so definiert habt, dann solltest du auch eure Definition benutzen.
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gruß!
Ich lerne gerade für meine Prüfung in Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie und da bin ich über die simple und elegante Antwort gestolpert:
Definition: Ein Maßraum [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ [/mm] heißt vollständig, falls für für jedes $B [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] mit $B [mm] \subseteq [/mm] A$ für ein $A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $\mu(A) [/mm] = 0$ gilt: $B [mm] \in \mathcal{A}$.
[/mm]
Oder in Worten: ein MAßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Menge vom Maß 0 wieder meßbar ist (und dann natürlich aufgrund der Monotonie des Maßes ebenfalls Maß 0 hat).
Außerdem kann man beweisen, dass jeder Maßraum eine eindeutige Vervollständigung besitzt, in dem Sinn, dass jede [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] so modifiziert werden kann, dass jede Teilmenge einer Nullmenge wieder meßbar ist.
Insofern ist Deine Definition, Marcel, allgemeiner, aber in vollständigen Maßräumen spielt das keine Rolle.
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lars,
entschuldige bitte meine späte Reaktion, aber momentan habe ich eigentlich (leider) so gut wie gar keine Zeit für das Forum. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Ferienjob, Seminarvorbereitung etc. ist der Grund...
> Gruß!
>
> Ich lerne gerade für meine Prüfung in Maß- und
> Wahrscheinlichkeitstheorie und da bin ich über die simple
> und elegante Antwort gestolpert:
>
> Definition: Ein Maßraum [mm](\Omega, \mathcal{A}, \mu)[/mm] heißt
> vollständig, falls für für jedes [mm]B \subseteq \Omega[/mm] mit [mm]B \subseteq A[/mm]
> für ein [mm]A \in \mathcal{A}[/mm] mit [mm]\mu(A) = 0[/mm] gilt: [mm]B \in \mathcal{A}[/mm].
Interessant! Der Begriff des vollständigen Massraumes war mir noch nicht geläufig! Danke!
> Oder in Worten: ein MAßraum heißt vollständig, wenn jede
> Teilmenge einer Menge vom Maß 0 wieder meßbar ist (und dann
> natürlich aufgrund der Monotonie des Maßes ebenfalls Maß 0
> hat).
Das ist mir dann auch klar! (Ich mag es auch bei manchen Dingen, wenn man das ganze nochmal in eigenen Worten wiedergibt.)
> Außerdem kann man beweisen, dass jeder Maßraum eine
> eindeutige Vervollständigung besitzt, in dem Sinn, dass
> jede [mm]\sigma[/mm]-Algebra so modifiziert werden kann, dass jede
> Teilmenge einer Nullmenge wieder meßbar ist.
Das ist eine sehr schöne und nützliche Aussage, insbesondere die Eindeutigkeit der Vervollständigung.
> Insofern ist Deine Definition, Marcel, allgemeiner, aber in
> vollständigen Maßräumen spielt das keine Rolle.
Okay, vielen Dank für die Information.
Viele Grüsse
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 28.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi Lars
erstmal danke für die antwort. so habe ich mir das am anfang auch vorgestellt, jedoch kam mir dann folgender beweis in die quere:
es gilt: [m] f_n \longrightarrow f \text{ fast gleichmäßig } \Longrightarrow \; f_n \longrightarrow f \text{ fast überall} [/m]
was ich ja noch recht einleuchtend finde, aber dann der beweis:
[m] \text{mit } \mu[f_n \not\to f] \text{ soll das maß die menge bezeichnet werden, auf der } f_n \text{ nicht gegen } f \text{ konvergiert} [/m]
[mm] $f_n \to [/mm] f$ fast gleichmäßig
[mm] $\Longrightarrow \; \forall \, \delta [/mm] > 0: [mm] \mu[f_n \not\to [/mm] f] < [mm] \delta \\ \Longrightarrow \; \mu[f_n \not\to [/mm] f] = 0.$
auf dem selben wege müsste man dann doch auch folgern können, dass wenn die gleichmäßige konvergenz auf einer menge mit beliebig kleinem maß verletzt ist, diese verletzung dann höchstens auf einer menge vom maß null möglich ist, oder?
nochmal zu meiner ersten frage: ist mit [mm] $\Omega$-Nullmege [/mm] möglicherweise
[mm] $\mu$-Nullmenge [/mm] gemeint, oder sind das unterschiedliche begriffe?
andreas
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Hallo Andreas,
Ich finde dein Beweis passt nicht mit den Anfangs gemachten Definitionen zusammen und möchte dafür ein Beispiel bringen.
f(n) sei eine Folge von Rechteckfunktionen mit kleiner werdendem Träger.
f sei konstant 0
[mm]f_n(x)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x\in [-\frac{1}{n} ,\frac{1}{n} ] \\
0, & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right. [/mm]
dann konvergiert f(n) fast gleichmäßig gegen f aber nicht fast überall.
gruß
mathemaduenn
Edit: Das zeigt imho auch den Unterschied. Das Maß der Menge auf der fn nicht gegen f konvergiert konvergiert zwar gegen null ist aber nie null.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Sa 31.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi mathemaduenn
erst einmal danke für deine antwort. ich denke durch das beispiel ist mir der unterschied von fast gleichmäßiger konvergenz und gleichmäßiger konvergenz fast überall klarer geworden.
die verwirrung bei dir in meinem letzten posting habe ich wohl auch dadurch ausgelöst, dass ich auf eineml mit konvergenz fast überall angefangen habe ([m] f_n \longrightarrow f \text{ fast überall } :\Longleftrightarrow \; \mu[f_n \not\to f] = 0 [/m]), was ja etwas anderes ist als gleichmäßige konvergnez fast überall.
ich würde behaupten, dass nach diesen definitionen [m] f_n [/m] fast überall und fast gleichmäßig gegen die nullfunktion konvergiert, aber nicht gleichmäßig fast überall.
sehe ich das richtig?
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:35 So 01.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
> ich würde behaupten, dass nach diesen definitionen [m]f_n[/m] fast
> überall und fast gleichmäßig gegen die nullfunktion
> konvergiert, aber nicht gleichmäßig fast überall.
> sehe ich das richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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