konvergenz funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Di 24.04.2012 | | Autor: | drossel |
Hallo, wie zeigt man hier, dass die Funtionenfolge punktweise (und nicht gleichmäßig) konvergiert?
[mm] f_n (x)=\begin{cases} (x-n)(1-x+n), & \mbox{für } x \in \mbox{ \ [0,1]} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
also ich komme schnell nicht mehr weiter , sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und ich muss ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] finden, sd. [mm] |(x-n)(1-x+n)|=|-x^2-n^2+2nx-n+x|<\varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] . Ist der Ansatz so in Ordnung? Wie kann ich denn jetzt mein [mm] n_0 [/mm] finden? Das hängt dann am Ende von x ab, oder? Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, wie zeigt man hier, dass die Funtionenfolge
> punktweise (und nicht gleichmäßig) konvergiert?
> [mm]f_n (x)=\begin{cases} (x-n)(1-x+n), & \mbox{für } x \in \mbox{ \ [0,1]} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> also ich komme schnell nicht mehr weiter , sei
> [mm]\varepsilon>0[/mm] und ich muss ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] finden, sd.
> [mm]|(x-n)(1-x+n)|=|-x^2-n^2+2nx-n+x|<\varepsilon[/mm] für alle n
> [mm]\ge n_0[/mm] . Ist der Ansatz so in Ordnung? Wie kann ich denn
> jetzt mein [mm]n_0[/mm] finden? Das hängt dann am Ende von x ab,
> oder? Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
kontrolliere bitte mal die Funktionenfolge:
Es gilt dort
[mm] $$f_n(0)=-n(1+n)=-n-n^2 \to -\infty\,,$$
[/mm]
[mm] $$f_n(1)=(1-n)(1+n)=1-n^2 \to -\infty\,,$$
[/mm]
und auch
[mm] $$f_n(1/2)=(1/2\;-\;n)(1/2\;+\;n)=1/4\;-\;n^2 \to -\infty\,.$$
[/mm]
Bei Deiner Funktionenfolge von oben liegt also sicher noch nicht mal pktw. Konvergenz vor...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 24.04.2012 | | Autor: | drossel |
Hmm mist, ich muss gestehen, dass es keine Aufgbe ist, sondern versuche mir etwas zu konstruieren, ging dann wohl ordentlich schief^^. Also ich suche eigentlich eine Funktionenfolge, die irgenwie im Intervall [0,1] so aussieht wie: http://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E2%2Bx ] für irgentein n und sonst konstant null ist. ZB die Funktion [mm] f(x)=1/4-(x-1/2)^2 [/mm] , und dann daraus wollte ich mir dann eine Funktionenfolge basteln mittels Verschiebung [mm] f_n [/mm] (x)=f(x-n) und kam dann zu diesem Teil. Weisst du, wie ich das und was ich meine? Bzw. hast du sonst eine Idee, wie so eine Funktionensolge aussehen könnte, die zwischen [0,1] so einen Huckel oberhalb der x-achse hat und sonst nur null ist, die sich aber für andere n verschiebt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hmm mist, ich muss gestehen, dass es keine Aufgbe ist,
> sondern versuche mir etwas zu konstruieren, ging dann wohl
> ordentlich schief^^. Also ich suche eigentlich eine
> Funktionenfolge, die irgenwie im Intervall [0,1] so
> aussieht wie:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E2%2Bx ] für
> irgentein n und sonst konstant null ist. ZB die Funktion
> [mm]f(x)=1/4-(x-1/2)^2[/mm] , und dann daraus wollte ich mir dann
> eine Funktionenfolge basteln mittels Verschiebung [mm]f_n[/mm]
> (x)=f(x-n) und kam dann zu diesem Teil. Weisst du, wie ich
> das und was ich meine? Bzw. hast du sonst eine Idee, wie so
> eine Funktionensolge aussehen könnte, die zwischen [0,1]
> so einen Huckel oberhalb der x-achse hat und sonst nur null
> ist, die sich aber für andere n verschiebt?
wenn ich Dich richtig verstehe, brauchst Du doch nur den Scheitelpunkt von einer nach unten geöffneten Parabeln auf der Achse [mm] $x=1/2\,$ [/mm] legen, auch stets oberhalb der [mm] $x\,$-Achse [/mm] lassen und dann diesen entlang der Achse [mm] $x=1/2\,$ [/mm] nur immer weiter nach unten zu verschieben und "dann die Parabel entsprechend breit machen, so dass sie an den Intervallenden "stetig in die Nullfunktion überläuft"".
Reicht Dir das als Tipp? Oder soll ich's formal aufschreiben?
P.S.
Die so konstruierte Funktionenfolge wird allerdings glm. gegen die Nullfunktion konvergieren - das folgt schon per Konstruktion - schließlich ist der [mm] $y\,$-Wert [/mm] des Scheitelpunkts hier [mm] $\|f_n\|_\infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 24.04.2012 | | Autor: | drossel |
also [mm] f_n (x)=\begin{cases} (x-n+1)(n+1-x), & \mbox{für }n-1\le x\le n+1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] wäre besser oder? Ich habe den Defbereich verändert und noch ein zu x-n ein +1 geschrieben, aber jetzt habe ich immernoch nicht das Intervall [0,1] sondern Intervalle mit zahlen mit höchstens abstand 2-.-, wie kann ich das sinvoll ändern ohne, dass ich was kaputt mache, oder kann ich statt [mm] n-1\le x\le [/mm] n+1 schreiben [mm] n\le x\le [/mm] n+1 ? . also klappt das jetzt und würde [mm] f_n [/mm] punktweise gegen 0 konvergieren ? wie würde man das hier zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also [mm]f_n (x)=\begin{cases} (x-n+1)(n+1-x), & \mbox{für }n-1\le x\le n+1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
> wäre besser oder? Ich habe den Defbereich verändert und
> noch ein zu x-n ein +1 geschrieben, aber jetzt habe ich
> immernoch nicht das Intervall [0,1] sondern Intervalle mit
> zahlen mit höchstens abstand 2-.-, wie kann ich das
> sinvoll ändern ohne, dass ich was kaputt mache, oder kann
> ich statt [mm]n-1\le x\le[/mm] n+1 schreiben [mm]n\le x\le[/mm] n+1 ? .
> also klappt das jetzt und würde [mm]f_n[/mm] punktweise gegen 0
> konvergieren ? wie würde man das hier zeigen?
ich bin jetzt echt ein wenig zu faul - man könnte sich mal sowas für ein paar [mm] $n\,$ [/mm] plotten und angucken, dann sieht man meist eh schon die Tendenz.
Aber auch hier: Berechne mal [mm] $f_n(0)\,.$ [/mm] Dieser Wert wird betragsmäßig gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben...
Pass' auf, Du kannst immerhin schonmal eine Folge konstruieren, die glm. gegen die Nullfunktion entsprechend Deinen Wünschen konvergiert:
Wir fordern dazu folgendes:
1.) Seien alle [mm] $y_n [/mm] > 0$ und es gelte [mm] $y_n \to 0\,.$ [/mm] (Du kannst etwa speziell [mm] $y_n=1/n$ [/mm] wählen).
2.) Seien [mm] $f_n(x)=a_n*(x\;-\;1/2)^2+y_n\,,$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,.$ [/mm] Fordere [mm] $f_n(1)=0\,,$ [/mm] und berechne damit die [mm] $a_n\,.$ [/mm] (Erstmal in Abhängigkeit von [mm] $y_n\,.$)
[/mm]
Beispiel:
Für [mm] $y_n=1/n$ [/mm] solltest Du erhalten:
[mm] $$f_n(x)=-\frac{4}{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\;+\frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Wie gesagt:
Du kannst auch andere $0 < [mm] y_n \to [/mm] 0$ wählen - die Formel für passende [mm] $f_n$ [/mm] dann berechnen, indem Du die Bedingung 2.) zur Berechnung von [mm] $a_n$ [/mm] verwendest: Denn klar ist, dass die [mm] $f_n$ [/mm] symmetrisch zur Achse [mm] $x=1/2\,$ [/mm] sind!!
P.P.S:
Wenn Du eine Funktionenfolge brauchst, die auf $ [mm] [0,1]\,$ [/mm] pktw., aber nicht glm. gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergiert, schlage ich Dir eine andere Strategie vor. (Wenn die Glieder unstetig sein dürfen, geht's sogar auf ganz banale Weise...)
Wie gesagt: Obige [mm] $f_n\,$ [/mm] konvergieren glm. gegen die Nullfunktion...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
