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| Aufgabe | | Untersuchen Sie, für welche Parameter q [mm] \in \IR [/mm] \ {0,1} die Partialsummenfolge { [mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] } konvergieren! Berechnen Sie in diesem Fall den Grenzwert! |
Also, ich habe ein Problem damit, die Konvergenz für diese Summenfolge anzugeben, wenn nicht gilt, dass 0<q<1 oder -1<q<0 .
ich habe ja dann noch 3 weitere Fälle zu betrachten:
q=(-1)
q<(-1)
q>1
so, nun habe ich als vorbetrachtung erstmal angegeben, dass
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = (1- q^(n+1) ) / (1-q) [mm] \forall q\not=1 [/mm] und [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] .
außerdem habe ich angegeben, wann [mm] {q^n} [/mm] konvergiert.
ich habe also für betrag von q < 1: grenzwert ist 0
für q>1 : grenzwert unendlich, also divergent
für q=(-1) : alternierend, also divergent
für q<(-1) : alternierend, also divergent
so, nun habe ich aber keine ahnung, wie ich davon jetzt auf die konvergenz meiner partialsummenfolge schließen kann. ich weiß, dass die konvergenz nur gegeben ist, wenn betrag von q < 1 gilt. aber ich muss ja alle fälle betrachten und in meinen büchern wird das nie gemacht.
könnte mir vielleicht jemand helfen, wie ich an die sache rangehen könnte für meine 3 weiteren fälle, außer dass betrag von q < 1 gilt?
vielen dank schon im voraus, die_conny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie, für welche Parameter $q [mm] \in \IR\backslash\{0,1\}$ [/mm] die
> Partialsummenfolge [mm] $\left\{ \summe_{k=0}^{n} q^k\right\}$ [/mm] konvergieren!
> Berechnen Sie in diesem Fall den Grenzwert!
> Also, ich habe ein Problem damit, die Konvergenz für diese
> Summenfolge anzugeben, wenn nicht gilt, dass 0<q<1 oder
> -1<q<0 .
>
> ich habe ja dann noch 3 weitere Fälle zu betrachten:
>
> q=(-1)
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> q<(-1)
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> q>1
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>
> so, nun habe ich als vorbetrachtung erstmal angegeben, dass
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> [mm] $\summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \frac{1- q^{n+1}}{1-q}$, $\forall q\not=1$ [/mm] und [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
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> außerdem habe ich angegeben, wann [mm]q^n[/mm] konvergiert.
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> ich habe also für betrag von q < 1: grenzwert ist 0
>
> für q>1 : grenzwert unendlich, also divergent
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> für q=(-1) : alternierend, also divergent
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> für q<(-1) : alternierend, also divergent
>
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> so, nun habe ich aber keine ahnung, wie ich davon jetzt auf
> die konvergenz meiner partialsummenfolge schließen kann.
> ich weiß, dass die konvergenz nur gegeben ist, wenn betrag
> von q < 1 gilt. aber ich muss ja alle fälle betrachten und
> in meinen büchern wird das nie gemacht.
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> könnte mir vielleicht jemand helfen, wie ich an die sache
> rangehen könnte für meine 3 weiteren fälle, außer dass
> betrag von q < 1 gilt?
>
Du hast schon gesehen, dass die Folge der Partialsummen [mm] $s_n [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^n q^k$ [/mm] der geometrischen Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] für [mm] $|q|\geq [/mm] 1$ divergiert (denn in diesem Falle bilden die Reihenglieder (also die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder der Partialsummenfolge) [mm] $q^k$ [/mm] keine Nullfolge, was für Konvergenz einer Reihe bzw. deren Partialsummenfolge eine notwendige Bedingung darstellt).
Bleibt also noch der Fall $|q|<1$ zu betrachten: In diesem Falle besagt die von Dir angeführte Beziehung
[mm]\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
dass der Grenzwert der Partialsummen [mm] $s_n$ [/mm] existiert und den Wert
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^nq^k = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-\lim_{n\rightarrow \infty}q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-0}{1-q}=\underline{\underline{\frac{1}{1-q}}}[/mm]
hat. (Dass [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} q^{n+1}=0$ [/mm] ist, folgt natürlich aus der hier geltenden Voraussetzung $|q|<1$)
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