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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Mo 28.06.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | | Prüfen Sie auf Konvergenz : [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\sqrt{1+e^x} }dx} [/mm] |
Huhu :)
Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Ich habe keine Idee, wie ich das gewinnbringend umformen könnte.
Einzige Idee wäre, [mm] u=e^x [/mm] zu substituieren, sodass das da steht:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{u*\sqrt{1+u}} du} [/mm] Hier ist die Wurzel immer größer als eins, aber es erinnert trotzdem nur an 1/x und das konvergiert ja bekanntlich nicht.
Aber 1/(lnx*x) konvergiert. Ich weiß also nicht genau wo die Grenze dafür liegt. Ich schätze, dass letzendlich die Wurzel stärker wächst als ein Logarithmus und daher das dingen konvergiert. Aber genau zeigen kann ichs nicht.
Darf ich überhaupt auf Konvergenz während einer Substitution prüfen? Ist das das selbe als würde ich die Funktion betrachten? Ich denke da an Definitionsbereiche, (nicht-)äquivalenzumformungen und so weiter...
Hoffe, ihr könnte mir auf die Sprünge helfen :)
schönen abend
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Guten Abend,
also was mir so einfällt wäre dass nach der Substitution [mm] $u\in (1,\infty)$. [/mm] Also ist [mm] $\bruch{1}{u*\wurzel{1+u}}<\bruch{1}{u*\wurzel{u}}$.
[/mm]
Letzteres kannst du als uneigentliches Riemann-Integral problemlos Integrieren und dann den Grenzprozess angucken...
Ich hoffe das hilft dir!
Alternativ könntest du aber auch [mm] $e^x$ [/mm] in die Taylorreihe entwickeln und dann geeignet abschätzen denke ich...
lg Kai
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