konvergenz mit bin. formel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
| Aufgabe | hab hier eine folge [mm] a_{n}:=\wurzel{n}(\wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n+2}
[/mm]
die soll ich mittels allgemeiner binomischer formel lösen. |
Ich weiß das das eine Nullfolge ist. Das hauptproblem ist das ich nicht weiß wie ich die binomische Formel überhaupt einsetzten soll, bei mir ist immernoch das von der schule hängengeblieben z.B. (a+b)+(a+b)= a²+2ab+b² ist.
Kann mir jemand ausführlich erklären wie ich das auf die folge zurück führen kann?
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Hallo Benz,
in solchen Fällen ist fast immer die dritte binomische Formel nützlich.
> hab hier eine folge [mm]a_{n}:=\wurzel{n}(\wurzel{n}[/mm] -[mm]\wurzel{n+2}[/mm])
>
> die soll ich mittels allgemeiner binomischer formel
> lösen.
allgemeiner? Was für eine allgemeine binomische Formel?
> Ich weiß das das eine Nullfolge ist.
Ach ja? Und woher weißt Du das?
[mm] \wurzel{n} [/mm] geht für [mm] n\to\infty [/mm] auch gegen Unendlich, die Klammer aber geht gegen Null. Also: unsicheres Ergebnis, oder?
> Das hauptproblem ist
> das ich nicht weiß wie ich die binomische Formel
> überhaupt einsetzten soll, bei mir ist immernoch das von
> der schule hängengeblieben z.B. (a+b)+(a+b)= a²+2ab+b²
> ist.
Mit einem Multiplikationszeichen zwischen den Klammern würde es stimmen. Dann wäre es die 1. binomische Formel.
Die zweite lautet: [mm] (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
[/mm]
Die dritte: [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
> Kann mir jemand ausführlich erklären wie ich das auf die
> folge zurück führen kann?
Erweitere [mm] \wurzel{n}(\wurzel{n}-\wurzel{n+2}) [/mm] mit [mm] 1=\bruch{\wurzel{n}\blue{+}\wurzel{n+2}}{\wurzel{n}\blue{+}\wurzel{n+2}}
[/mm]
Dann findest Du den (negativen!) Grenzwert schnell.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
was meinst du mit dem "negativen" grennzwert und kommst du auf das hier $ [mm] \wurzel{n}(\wurzel{n}-\wurzel{n+2}) [/mm] $ mit $ [mm] 1=\bruch{\wurzel{n}\blue{+}\wurzel{n+2}}{\wurzel{n}\blue{+}\wurzel{n+2}} [/mm] $
wie gesagt habe echt keine ahnung wie man die binomische formel bei Folgen anwendet, kannst du es schritt für schritt erklären?
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Hallo Benz,
da ist doch schon alles erklärt.
Du musst nur mal selbst rechnen.
Wie man einen Bruch erweitert, weißt Du sicher noch aus der Mittelstufe.
Darum geht es hier: erweitere Deinen Term mit dem angegebenen Bruch!
Die dazu nötige binomische Formel (wie gesagt, die dritte) habe ich Dir ja auch schon angegeben. Du musst also nur das vorliegende Material verwerten - und das heißt: selbst etwas tun.
Der Hinweis "negativer Grenzwert" war vielleicht zu weit vorgegriffen. Du wirst es sehen, wenn Du ankommst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
oh man mir platzt bald der kopf vor lauter experementierbarkeit
kannst du nochmal zeigen wie du es meinst mit dem erweitern aus der schule ist es ja leicht aber im studium macht man da 5 schritte vor und denkt der jenige kanns dann nachvollziehen, was bei mir nicht der fall ist:(
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Hallo Benz,
> oh man mir platzt bald der kopf vor lauter
> experementierbarkeit
>
> kannst du nochmal zeigen wie du es meinst mit dem erweitern
> aus der schule ist es ja leicht aber im studium macht man
> da 5 schritte vor und denkt der jenige kanns dann
> nachvollziehen, was bei mir nicht der fall ist:(
Na, das nenne ich schon beinahe dreist.
Reverend hat dir alles hingeschrieben; du wirst doch die Buchstaben a und b in der 3.binomischen Formel durch die Wurzelausdrücke [mm]a=\sqrt{n}[/mm] und [mm]b=\sqrt{n+2}[/mm] ersetzen können?
Zumindest das Erweitern rechne du hier vor, auch wenn es falsch sein sollte.
Dann sehen wir weiter.
Aber so stumpf vorrechnen, zumal nach all den Tipps, die du bekommen hast, tun wir nicht.
Also ran an den Hahn!
Das wird schon klappen!!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:02 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
soll es dann etwa so aus sehen [mm] 1=\bruch{a+b}{a+b}?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
ok ich glaub ich komme der rätselslösung näher und zwar
glaub ich das es so stehen müsste wenn ich für $ [mm] a=\sqrt{n} [/mm] $ und $ [mm] b=\sqrt{n+2} [/mm] $ einsetze dann kriege ich erstmal das hier raus
[mm] \bruch{a(a^{2}-b^{2})}{(a+b)} [/mm] stimmt das?
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Hallo nochmal,
hier der Publikumsjoker:
> ok ich glaub ich komme der rätselslösung näher und zwar
>
> glaub ich das es so stehen müsste wenn ich für [mm]a=\sqrt{n}[/mm]
> und [mm]b=\sqrt{n+2}[/mm] einsetze dann kriege ich erstmal das hier
> raus
>
> [mm]\bruch{a(a^{2}-b^{2})}{(a+b)}[/mm] stimmt das?
Ja, und mit deinen Werten ergibt das konkret was?
[mm]\sqrt{n}\cdot{}\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+2}\right)=\sqrt{n}\cdot{}\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+2}\right)\cdot{}\red{\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}}[/mm]
[mm]=\sqrt{n}\cdot{}\frac{\overbrace{(\sqrt{n}-\sqrt{n+2})\cdot{}(\sqrt{n}+\sqrt{n+2})}^{\text{3.binom. Formel}}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}[/mm]
[mm]=\sqrt{n}\cdot{}\frac{n-(n+2)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}=\frac{-2\cdot{}\sqrt{n}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}[/mm]
Nun klammere im Nenner [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] aus, klammere dazu unter den beiden Wurzeln $n$ aus und ziehe es jeweils als [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] raus ...
Jetzt bist du aber gefragt!
Der Weg steht, das Ziel ist nah!
Gruß
schachuzipus
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