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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:32 Di 11.07.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor hier gestellt: http://www.matheforum.net/read?i=135135)
hey leute, gucke mir gerade einen alter thread an
da hab ich mal gefragt ob allgemein gilt
[mm] \lim_{x\to0} [/mm] f(x) = [mm] \lim_{n\to\infty} f(a_n), [/mm] wobei [mm] a_n [/mm] eine beliebige Nullfolge ist.
In dem Thread wurde gesagt ja, muss man dazu aber nicht voraussetzen, dass die Funktion stetig ist, dann wäre das ja genau die Definition von Stetigkeit.
Gruß Ari
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Hallo AriR!
Es ist ja genauso definiert, dass [mm] \lim_{x\to 0}f(x)=y [/mm] genau dann, wenn für jede gegen 0 konvergente Folge [mm] (a_n) [/mm] die Folge [mm] (f(a_n)) [/mm] gegen y konvergiert.
Viele Grüsse
just-math
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Di 11.07.2006 | | Autor: | AriR |
jo genau das meine ich ja auch, in dem alten thread wird die stetigkeit aber gar nicht vorausgesetzt oder? und trotzdem beweisen die diese eigentschaft. oder hab ich da was falsch verstanden?
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Hallo Ari,
Das hat nichts mit Stetigkeit zu tun sondern mit Grenzwerten von Funktionen. Also der Definition des limes selbst.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Di 11.07.2006 | | Autor: | AriR |
ja ok das [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch1n=0=\lim{n\to0}n [/mm] das selbe ist stimmt sicher
aber wenn man das auf eine funktion anwendet, muss das doch nicht zwingend stimmen oder?
[mm] \lim_{n\to\infty}f(\bruch1n) [/mm] = 0 = [mm] \lim{n\to0}f(n)
[/mm]
zB für [mm] f=\bruch1x [/mm] für x>0, f=0 für x=0
da würde das doch nicht stimmen oder?
danke schonmal für die antworten.. Gruß Ari :)
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Hallo Ari,
Na da hab ich mal ne Gegenfrage:
Was ist denn [mm] lim_{x \to 0} [/mm] f(x) für deine Funktion - Ja nicht definiert. Das wird natürlich irgendwie vorausgesetzt aber nicht dazu gesagt. Also wenn die Gw existieren dann sind sie gleich.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo AriR,
das mit dem Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm] für die gilt [mm] \bigvee_{a} a=\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] ist ein zweischneidiges Schwert. Wenn du soetwas findest ist das Gejuchze groß, weil du glaubst, dass du den [mm] \limes_{x\rightarrow a} f(x)[/mm] mit [mm]a=\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] gefunden.
Es gibt aber Funktionen von denen man da böse verarscht wird:
Nimm die Funktion [mm]\fbox{f(x)=\cos\left(2\frac{\pi}{x}\right)}[/mm]
zusammen mit unser aller Lieblingsnullfolge: [mm]0=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac1n[/mm]
Der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=
\limes_{n\rightarrow\infty}\cos\left(2\frac{\pi}{\frac1n}\right)=
\limes_{n\rightarrow\infty}\cos\left(2\pi*n\right) = 1[/mm]
Wer jetzt allerdings glaubt, es gäbe einen [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\cos\left(2\frac{\pi}x\right) [/mm] und der sei 1, liegt unter einem Irrtum.
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:37 Mi 12.07.2006 | | Autor: | AriR |
hat damit nicht gezeigt, dass die fkt [mm] f(x)=cos(\bruch{2*\pi}{x}) [/mm] nicht stetig in 0 ist?
es gilt halt nicht für alle [mm] a_n [/mm] mit [mm] \lim_{n\to\infty}a_n
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}f(a_n)=0
[/mm]
es gilt nur unter anderm für [mm] a_n=\bruch1n
[/mm]
eine folge für die es nicht gilt, fällt mir gerade nicht ein, aber es scheint sicher eine zu geben, so wie du deinen artikel formuliert hast.
stimmt das ungefähr mit dem überein, was du sagen wolltest?
danke.. Ari :)
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> ist damit nicht gezeigt, dass die fkt
> [mm]f(x)=cos(\bruch{2*\pi}{x})[/mm] nicht stetig in 0 ist?
>
Das kann sie sowieso nicht sein, weil der Definitionsbereich
ausgerechnet an dieser Stelle ein Loch hat.
Das wollte ich aber auch nicht zeigen.
Ich habe eine Folge gefunden, nämlich [mm] $a_n=\frac1n$.
[/mm]
Die ersten Folgeglieder sind [mm] $1,\frac12,\frac13,\frac14,\frac15 \quad\ldots [/mm] $
(Offensichtlich eine Nullfolge.)
Die kannst du in f einsetzen,
[mm]\cos\left(\bruch{2*\pi}{1}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac12}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac13}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac14}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac15}\right) \quad\ldots[/mm]
und bekommst damit die ersten Funktionswerte [mm] $f(a_n)$
[/mm]
[mm] 1,1,1,1,1\quad\ldots[/mm] konvergiert, Grenzwert 1.
Ich habe aber noch eine Folge gefunden, nämlich [mm] $a_n=\frac1{n+\frac12}$.
[/mm]
Die ersten Folgeglieder sind [mm] $\frac1{1,5},\frac1{2,5},\frac1{3,5},\frac1{4,5},\frac1{5,5},\quad\ldots [/mm] $
(Ebenfalls eine Nullfolge.)
Auch die kannst du in f einsetzen,
[mm]
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac1{1,5}}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac1{2,5}}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac1{3,5}}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac1{4,5}}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac1{5,5}}\right),
\quad\ldots[/mm]
und bekommst damit die ersten Funktionswerte [mm] $f(a_n)$
[/mm]
[mm] -1,-1,-1,-1,-1\quad\ldots[/mm] konvergiert auch, Grenzwert -1.
Ich habe aber noch eine Folge gefunden, nämlich [mm] $a_n=\frac{1{,}1}{n}$.
[/mm]
Die ersten Folgeglieder sind [mm] $\frac{0{,}99}1,\frac{0{,}99}2,\frac{0{,}99}2,\frac{0{,}99}2,\frac{0{,}99}5 \quad\ldots [/mm] $
(Schon wieder ![[morgaehn]](/images/smileys/morgaehn.gif "[morgaehn]") eine Nullfolge.)
Die kannst du in f einsetzen,
[mm]
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac{0{,}99}1}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac{0{,}99}2}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac{0{,}99}3}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac{0{,}99}4}\right),
\cos\left(\bruch{2*\pi}{\frac{0{,}99}5}\right),
[/mm]
und bekommst damit die ersten Funktionswerte [mm] $f(a_n)$
[/mm]
[mm]0{,}997\ 0{,}992\ 0{,}982\ 0{,}968\ 0{,}950 \quad\ldots[/mm] konvergiert überhaupt nicht.
Deshalb reicht es nicht, eine Nullfolge als Quelle für x-Werte heraus zu picken, sondern du musst sicherstellen, dass es für alle Nullfolgen gilt.
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mi 12.07.2006 | | Autor: | AriR |
ok dann sagen wir besser die fkt ist nicht stetit ergänzbar in 0. also man kann man für f(0) keinen funktionswert expilizit angeben, so dass die fkt stetig ist in 0 ne?
(Diese konstanten werte bei den Nullfolgen kommen doch teilweise zustande, weil die fkt periodisch ist und man sich sozusagen auf verschieden höhen, also waagerechten zur x-achse der 0 nähert ne?)
gruß Ari
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> ok dann sagen wir besser die fkt ist nicht stetig ergänzbar
> in 0. also man kann man für f(0) keinen funktionswert
> expilizit angeben, so dass die fkt stetig ist in 0 ne?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> (Diese konstanten werte bei den Nullfolgen kommen doch
> teilweise
nur dadurch
>
zustande, weil die fkt periodisch ist und man
> sich sozusagen auf verschieden höhen, also waagerechten zur
> x-achse der 0 nähert ne?)
Genau so ist es.
Gruß Karhagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mi 12.07.2006 | | Autor: | AriR |
jo danke, dann habe ich es jetzt wohl verstanden =)
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