konvergenz von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 So 09.11.2008 | | Autor: | ri3k |
| Aufgabe | 1) Untersuchen sie die unendliche Reihe
[mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2²}+\bruch{1}{3²}+\bruch{1}{2³}+\bruch{1}{3³}+......
[/mm]
mit Wurzel- und Quotientenkriterium auf Konvergenz
2) Konvergiert die folgende Reihe?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(2n+1)!} [/mm] |
Hi ich hänge mal wieder bei diesen zwei aufgaben.
ich hab die frage in keinem anderen forum gestellt.
1)Wurzelkriterium
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}
[/mm]
damit die konvergiert muss ja 0 < q <1 sein.
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n} \Rightarrow \wurzel[n]{\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}}
[/mm]
so und da ist mein problem. wie kann ich das jetzt sinvoll umformen?
1)Quotientenkriterium
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n} [/mm] , [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2^{n+1}}+\bruch{1}{3^{n+1}}
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2^{n+1}}+\bruch{1}{3^{n+1}}}{\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2^{n+1}}+\bruch{1}{3^{n+1}})*(\bruch{2^{n}}{1}+\bruch{3^{n}}{1})
[/mm]
hier häng ich auch mal wieder beim umformen.
2) in der vorlesung hab ich mir notiert das es besser ist bei Fakultäten das quotientenkriterium anzuwenden.
also
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(2n+1)!} a_{n}=\bruch{1}{(2n+1)!} [/mm] , [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(2n+2)!} [/mm]
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{(2n+2)!} }{\bruch{1}{(2n+1)!} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{(2n+2)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2n+1)!}{1}
[/mm]
wobei man immer das /1 weg lassen kann. kann man hier noch kürzen??
mit fakultäten hab ich noch nicht oft gerechnet.
danke und gruß ri3k
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ri3k!
Es gilt: $(2n+2)! \ = \ (2n+1)!*(2n+2)$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ri3k!
Warum zerlegst Du diese genannte Reihe nicht in 2 Einzelreihen und betrachtest diese separat?
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}$$
[/mm]
> 1)Wurzelkriterium
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}[/mm]
> damit die konvergiert muss ja 0 < q <1 sein.
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n} \Rightarrow \wurzel[n]{\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}}[/mm]
>
> so und da ist mein problem. wie kann ich das jetzt sinvoll
> umformen?
Schätze hier ab, da ja gilt: [mm] $\bruch{1}{3^n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2^n}$ [/mm] .
> 1)Quotientenkriterium
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{1}{2^{n+1}}+\bruch{1}{3^{n+1}}}{\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}}[/mm] = [mm](\bruch{1}{2^{n+1}}+\bruch{1}{3^{n+1}})*(\bruch{2^{n}}{1}+\bruch{3^{n}}{1})[/mm]
> hier häng ich auch mal wieder beim umformen.
Da machst Du am Ende auch bruchrechentechnisch "Murks"!
Wie gesagt: Reihe in zwei Teilreihen zerlegen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 09.11.2008 | | Autor: | ri3k |
der erste teil ist jetzt klar. danke
aber bei quotientenkriterium.
ich dividiere doch durchein bruch in dem ich in mit dem kehrwert mmultipliziere?
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3}{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ri3k!
> ich dividiere doch durchein bruch in dem ich in mit dem
> kehrwert mmultipliziere?
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{3}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{3}{1}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] ???
Das schon! Aber Du hast ja eine Summe, von welchem Du insgesamt den Kehrwert nehmen musst (und nicht summandenweise!).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 09.11.2008 | | Autor: | ri3k |
also seh ich das denn jetzt so richtig?
[mm] \bruch{\bruch{1}{2^{n+1}}+{\bruch{1}{3^{n+1}}}}{\bruch{1}{2^n}+{\bruch{1}{3^n}}} [/mm] = [mm] \bruch{5}{6^{n+1}}*\bruch{6^n}{5}
[/mm]
also ich hab jetzt bei brüche mit einander addiert und kommen dann darauf.
ist das so wie du meintest?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ri3k!
Bitte, bitte nochmal Bruchrechnung und deren Regeln ansehen ... was Du hier gerechnet hast, ist absoluter Mathe-Alptraum! ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Wie ich oben schon schrieb, solltest Du hier für das Quotientenkriterium unbedingt die Reihe in zwei Teilreihen zerlegen.
Wenn Du aber unbedingt so rechnen möchtest, musst Du wie folgt umformen:
[mm] $$\bruch{\bruch{1}{2^{n+1}}+{\bruch{1}{3^{n+1}}}}{\bruch{1}{2^n}+{\bruch{1}{3^n}}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\bruch{3^{n+1}}{2^{n+1}*3^{n+1}}+{\bruch{2^{n+1}}{2^{n+1}*3^{n+1}}}}{\bruch{3^n}{2^n*3^n}+{\bruch{2^n}{2^n*3^n}}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\bruch{3^{n+1}+2^{n+1}}{6^{n+1}}}{\bruch{3^n+2^n}{6^n}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{3^{n+1}+2^{n+1}}{6^{n+1}}*\bruch{6^n}{3^n+2^n}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^n+2^n}$$
[/mm]
usw.
Gruß
Loddar
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