konvergenz von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Di 17.02.2009 | | Autor: | Thomas87 |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-2n+1}{n³}
[/mm]
quotientenkriterium liefert 1
frage: ich vermute divergenz, aber wie kann ich minorante finden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Zerlege den Bruch wie folgt und untersuche die Reihen separat:
[mm] $$\bruch{n^2-2n+1}{n^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2}{n^3}-\bruch{2n}{n^3}+\bruch{1}{n^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}-\bruch{2}{n^2}+\bruch{1}{n^3}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 17.02.2009 | | Autor: | Thomas87 |
die letzten beiden reihen würden konvergieren und die erste reihe würde divergieren. aber das kann ich doch nicht als beweis für die divergenz nehmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Warum nicht? Was ergibt sich denn bei einer Summe aus einem unbeschränkten Summanden (der also über alle Grenzen wächst) sowie zwei beschränkten Summanden?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Di 17.02.2009 | | Autor: | Thomas87 |
eine unbeschränkte summe. super, das bringt mich weiter. vielen dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mi 18.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Loddar,
ich fürchte, da machst du es dir etwas zu einfach: Wann darf man denn eine unendliche Reihe zerlegen? Wenn jede einzelne konvergiert... das ist hier nicht gegeben.
Konvergieren die Reihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] gegen a bzw. b, so konvergiert auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n), [/mm] und war gegen a + b.
Die Gleichung [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] ist aber sinnlos und im Allgemeinen falsch, wenn über die Konvergenz noch nichts bekannt ist.
Oder übersehe ich hier einen Sonderfall in dem die Gleichung wiederum legitimiert wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Man kann Loddars Argument folgendermaßen untermauern:
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2-2n+1}{n^3}
[/mm]
Dann ist [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}-\bruch{2}{n^2}+\bruch{1}{n^3} [/mm] $
Angenommen, [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}a_n [/mm] wäre konvergent, dann ist auch
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}(a_n+\bruch{2}{n^2}-\bruch{1}{n^3})
[/mm]
konvergent, also wäre [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n} [/mm] konvergent, Widerspruch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Mi 18.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Danke Dir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-2n+1}{n³}[/mm]
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> quotientenkriterium liefert 1
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> frage: ich vermute divergenz, aber wie kann ich minorante
> finden?
[mm] \bruch{n²-2n+1}{n³} [/mm] verhält sich für große n wie [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Daher hat man die Vermutung, dass die Reihe divergiert und macht den Ansatz
[mm] \bruch{n²-2n+1}{n³} \ge \bruch{c}{n} [/mm] mit einem noch unbekanntem c.
Ein wenig herumrechnen (probiers mal) und man kommt z.B. auf c= 1/2, genauer:
[mm] \bruch{n²-2n+1}{n³} \ge \bruch{1}{2n} [/mm] für n> 3
FRED
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