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konvergenz zeigen: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Fr 11.12.2009
Autor: sepp-sepp

Aufgabe
zeigen Sie: ist |x|<1, dann gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1) [mm] x^{k} [/mm] = [mm] (1-x)^{-2} [/mm]
Hinweis: Herleitung der geometr. Summenformel

Hallo! hab schon mal etwas umgeformt und komme auf:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}kx^{k} [/mm] + [mm] (1-x)^{-1} [/mm]
aber der hinweis hilft mir irgendwie nicht viel. weiß jemand einen guten rat?

        
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konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Fr 11.12.2009
Autor: reverend

Hallo sepp-sepp,

schreib alles, was nicht summiert wird, besser vor die Summe, oder mach um die gesamte Summe eine ordentliche große Klammer - das geht mit \left( und entsprechend [mm] \backslash [/mm] right). (Nur mag mich der Formeleditor gerade nicht. Schau mal unten)

Du hast also so umgeformt:

[mm] \summe_{k=0}^\infty (k+1)x^k=\summe_{k=0}^\infty kx^k+x^k=\summe_{k=0}^\infty kx^k+\summe_{k=0}^\infty x^k=\left(\summe_{k=0}^\infty kx^k\right)+\bruch{1}{1-x} [/mm]

wobei Du im letzten Schritt bereits vorausgesetzt hast, dass |x|<1 ist.

Die jetzige Summe enthält als erstes Glied eine Null. Sie könnte also genausogut bei k=1 anfangen, ohne sich zu verändern. Ich lasse den schon ausgerechneten Teil (geometrische Reihe) vorläufig weg - aber nur um Schreibarbeit zu sparen.

[mm] \summe_{k=0}^\infty kx^k=\summe_{k=1}^\infty kx^k=\cdots [/mm]

...und jetzt brauchst Du eine Indexverschiebung: summiere über ein j so, dass vor der Potenz von x der Faktor (j+1) steht. Wie sieht dann der Exponent aus? Vergleiche mal mit der ursprünglichen Reihe. Da gibt es einen Zusammenhang, der Dir hilft, den Wert der Reihe zu bestimmen.

Viel Erfolg!
reverend

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konvergenz zeigen: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Fr 11.12.2009
Autor: sepp-sepp

sorry aber des versteh ich jetzt nicht ganz. wie meinst du das genau mit der indexverschiebung?

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konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Fr 11.12.2009
Autor: reverend

Hallo nochmal,

Indexverschiebung bedeutet, dass Du die gleichen Summationsglieder auf andere Weise als Summe schreibst, nämlich mit einem verschobenen Index. Hier bietet sich an, einen Index j einzuführen, so dass die Summe von j=0 bis [mm] \infty [/mm] gebildet wird. Es gilt also j=k-1 bzw. k=j+1, und man erhält:

[mm] \summe_{k=0}^\infty kx^k=\summe_{k=1}^\infty kx^k=\summe_{j=0}^\infty (j+1)x^{j+1}=\summe_{j=0}^\infty x*(j+1)x^{j}=x*\summe_{j=0}^\infty (j+1)x^{j}=\cdots [/mm]

Die ganze Rechnung bis hier lautet also abgekürzt:

[mm] \summe_{k=0}^\infty (k+1)x^k=\bruch{1}{1-x}+\summe_{k=0}^\infty kx^k=\bruch{1}{1-x}+x*\summe_{j=0}^\infty (j+1)x^{j} [/mm]

Nun wären die ganz linke und die ganz rechte Summe ja gleich, wenn nur die Indexvariablen gleich hießen...

Und, hast Du jetzt eine Idee?

lg
reverend

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konvergenz zeigen: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Sa 12.12.2009
Autor: sepp-sepp

Sorry, die Idee versteh ich schon, aber mir gelingt es einfach nicht, die summe so umzuformen, dass ich statt dem j ein k stehen habe! kannst du / ihr mir nochmal draufhelfen?

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konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Sa 12.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Sorry, die Idee versteh ich schon, aber mir gelingt es
> einfach nicht, die summe so umzuformen, dass ich statt dem
> j ein k stehen habe! kannst du / ihr mir nochmal
> draufhelfen?

Ja mei!

Tauf das j halt um in k!

(Wenn Du sie Summe mal ausschriebst, wird Dir klar werden, daß es total schnuppe ist, wie der Summationsindex heißt.)

Gruß v. Angela


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konvergenz zeigen: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Sa 12.12.2009
Autor: sepp-sepp

aja, angela, da hast du wohl recht :) dann stehts in einer zeile da. vielen dank für eure hilfe!!

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konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Sa 12.12.2009
Autor: fred97


> zeigen Sie: ist |x|<1, dann gilt:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (k+1) [mm]x^{k}[/mm] = [mm](1-x)^{-2}[/mm]
>  Hinweis: Herleitung der geometr. Summenformel
>  Hallo! hab schon mal etwas umgeformt und komme auf:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}kx^{k}[/mm] + [mm](1-x)^{-1}[/mm]
>  aber der hinweis hilft mir irgendwie nicht viel. weiß
> jemand einen guten rat?


Ja, bilde das Cauchyprodukt der geometrisschen Reihe mit sich selbst

FRED


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