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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 01.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
stimmt folgende aussage:
[m] \text{sei } (M, d) \text{ metrischer raum. dann gilt:}\\
\begin{center}(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ konvergent gegen } a \in M \\ \Longleftrightarrow \\ \text{ in jeder teilfolge } (a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \text{ gibt es eine teilteilfolge } (a_{n_{k_j}})_{j \in \mathbb{N}} \text{ die gegen } a \in M \text{ konvergiert.} \end{center} [/m] ?
meine beweisidee wäre gewesen:
[m] ''\Longrightarrow'': [/m] klar, da jede teilfolge einer konvergenten folge gegen den selben grenzwert konvergiert, also wähle [m] n_{k_j} := n_j [/m]
[m] ''\Longleftarrow'': [/m] die aussage ist äquivalent zu [m] (a_n) \text{ nicht konvergent gegen } a \; \Longrightarrow \; \text{es gibt eine teilfolge } (a_{n_k}), \text{ so dass keine teilteilfolge gegen } a \text{ konvergiert.} [/m] also sei [m] (a_n) [/m] nicht konvergent gegen [m] a \in M [/m], d.h. [mm] \exists \, \varepsilon > 0 \; \forall \, n_0 \in \mathbb{N} \; \exists \, m \geq n_0: d(a_m, a) \geq \varepsilon \hfill (*) [/mm]
offensichtlich lässt sich nun [m] (a_{n_k}) [/m] so konstruieren, dass jedes folgenglied einen abstand von [m] a [/m] hat, der mindestens [m] \varepsilon [/m] groß ist (indem man [m] n_0 [/m] stets um 1 größer wählt als den letzten index den man in die teilfolge aufgenommen hat). dann ist durch [m] (*) [/m] garantiert, dass die indexfolge [m] n_k [/m] unendlich viele folgenglieder enthält und sie ist nach konstruktion streng monoton steigend. außerdem ist nach konstruktion klar, dass keine teilteilfolge gegen [m] a [/m] konvergieren kann.[m] \hfill \Box [/m]
stimmt das?
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
ich sehe nach gründlicher Durchsicht keinen Fehler in deiner Argumentation. ![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]")
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 So 01.08.2004 | | Autor: | andreas |
merci bien.
andreas
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