konvergiert die Reihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+n!}{(2+n)!} [/mm] |
Hallo,
würde gerne wissen ob mein Ansatz für diese Aufgabe richtig ist.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+n!}{(2+n)!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{(2+n)!} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{(2+n)!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{(2+n)!} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Folge konvergiert gegen 0
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+n!}{(2+n)!} [/mm] < [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+n!}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{n!}+\bruch{n!}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{n!}+1
[/mm]
habe aber jetzt eine divergente Majorante, was mir doch eigentlich nichts bringt?!
Habe dann Folgendes versucht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+n!}{(2+n)!} [/mm] > [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{(2+n)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] > [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n^3} [/mm]
Jetzt habe ich eine konvergente Minorante was mir genauso wenig bringt  Kann mir jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank für eure Antworten!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:56 Mo 30.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+n!}{(2+n)!}[/mm]
> Hallo,
>
> würde gerne wissen ob mein Ansatz für diese Aufgabe
> richtig ist.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+n!}{(2+n)!}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{(2+n)!}[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{(2+n)!}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{(2+n)!}[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Folge konvergiert gegen 0
Ja.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+n!}{(2+n)!}[/mm] <
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+n!}{n!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{n!}+\bruch{n!}{n!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{n!}+1[/mm]
>
> habe aber jetzt eine divergente Majorante, was mir doch
> eigentlich nichts bringt?!
Exakt.
> Habe dann Folgendes versucht:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+n!}{(2+n)!}[/mm] >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{(2+n)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n^3}[/mm]
>
> Jetzt habe ich eine konvergente Minorante was mir genauso
> wenig bringt
Genau.
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
Versuch doch mal zu zeigen, dass es eine Konstante [mm] $\alpha [/mm] > 0$ gibt so, dass fast alle Summanden [mm] $\le \frac{\alpha}{n^2}$ [/mm] sind.
Dann haettest du eine konvergente Majorante.
LG Felix
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Danke für deinen Tipp, habe nur leider keine Ahnung wie ich ihn umsetzen kann.
habe folgendes probiert:
[mm] \bruch{2+n!}{(2+n)!} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(2+n)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(2+n)!} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(2+n)!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] < [mm] \bruch{2}{(2+n)!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] < [mm] \bruch{2}{n!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
komm ich damit weiter?
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Mo 30.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Gratwanderer!
> Danke für deinen Tipp, habe nur leider keine Ahnung wie
> ich ihn umsetzen kann.
>
> habe folgendes probiert:
>
> [mm]\bruch{2+n!}{(2+n)!}[/mm] = [mm]\bruch{2}{(2+n)!}[/mm] +
> [mm]\bruch{n!}{(2+n)!}[/mm] = [mm]\bruch{2}{(2+n)!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] < [mm]\bruch{2}{(2+n)!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
> < [mm]\bruch{2}{n!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> komm ich damit weiter?
Ja: fuer $n [mm] \ge [/mm] 5$ ist [mm] $\frac{2}{n!} \le \frac{1}{n^2}$.
[/mm]
LG Felix
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Danke für deine Hilfe. Eine kleine Frage hab ich noch.
Muss ich nicht schreiben [mm] \bruch{2}{n!} \le \bruch{2}{n^2}
[/mm]
oder ist das egal?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 30.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist egal, ab irgend einem n gilt die eine und die andere Ungleichung.
Gruss leduart
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