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konvex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 So 07.02.2016
Autor: JXner

Aufgabe
Für welche Werte von x ist f(x) konkav/ konvex?

f"(x) = [mm] \bruch{2+4x}{(x-1)^4} [/mm]
f"(x) < 0 // konkav

<=> ((2+4x > 0 ) [mm] \wedge (x-1)^4 [/mm] < 0 ) v ((2+4x < 0) [mm] \wedge (x-1)^4 [/mm] > 0)
<=> (x > [mm] -\bruch{1}{2} \wedge [/mm] x < 1 ) v (x < [mm] -\bruch{1}{2} \wedge [/mm] x >1)

Guten Mittag ^^

Irgendwas passt da nicht so ganz bei meiner Rechnung.
Hat jemand den Durchblick und könnte mir meinen Fehler zeigen?

Grüße Joschua

        
Bezug
konvex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 So 07.02.2016
Autor: notinX

Hallo,

> Für welche Werte von x ist f(x) konkav/ konvex?
>  
> f"(x) = [mm]\bruch{2+4x}{(x-1)^4}[/mm]
>  f"(x) < 0 // konkav
>  
> <=> ((2+4x > 0 ) [mm]\wedge (x-1)^4[/mm] < 0 ) v ((2+4x < 0) [mm]\wedge (x-1)^4[/mm]
> > 0)
>  <=> (x > [mm]-\bruch{1}{2} \wedge[/mm] x < 1 ) v (x < [mm]-\bruch{1}{2} \wedge[/mm]

> x >1)
>  Guten Mittag ^^
>  
> Irgendwas passt da nicht so ganz bei meiner Rechnung.
>  Hat jemand den Durchblick und könnte mir meinen Fehler
> zeigen?

also einen Durchblick habe ich bei Deiner Rechnung nicht.
Warum bestimmst Du nicht die Nullstelle(n) von f''(x)? Dann musst Du nur noch das Vorzeichen in den entsprechenden Invervallen bestimmen.

>  
> Grüße Joschua

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
konvex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 So 07.02.2016
Autor: JXner

Eine Funktion kann konvex oder konkav sein und muss keine Nullstelle besitzen.

Ich hab es mal auf einen anderen Ansatz versucht,

f"(x) < 0
<=> (2+4x < 0 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not= [/mm] 1)
<=> (x < [mm] -\bruch{1}{2} \wedge [/mm] x [mm] \not= [/mm] 1)
Also x [mm] \in ]\infty; -\bruch{1}{2}[ [/mm]

So komme ich auf das gewünschte Ergebnis,
fragt sich nur noch warum was bei meinem ersten Versuch nicht stimmt.

Zur Erklärung:
Die zweite Ableitung der Funktion soll kleiner 0 sein.
Das wird sie, wenn der Term (2+4x) < 0 ist und [mm] (x-1)^4 [/mm] > 0
oder
wenn der Term (2+4x) > 0 ist und [mm] (x-1)^4 [/mm] < 0 ist.

So gesehen, kann [mm] (x-1)^4 [/mm] nicht negativ werden,
also kann die erste Möglichkeit nicht eintreffen und bei der zweiten muss ich dann lediglich noch überprüfen ob es [mm] \not= [/mm] 1 ist.

Ob der Gedankengang richtig ist, müsste mir einer von euch sagen ^^

Bezug
                        
Bezug
konvex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 So 07.02.2016
Autor: fred97


> Eine Funktion kann konvex oder konkav sein und muss keine
> Nullstelle besitzen.
>  
> Ich hab es mal auf einen anderen Ansatz versucht,
>  
> f"(x) < 0
> <=> (2+4x < 0 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not=[/mm] 1)
>  <=> (x < [mm]-\bruch{1}{2} \wedge[/mm] x [mm]\not=[/mm] 1)

>  Also x [mm]\in ]\infty; -\bruch{1}{2}[[/mm]
>  
> So komme ich auf das gewünschte Ergebnis,
>  fragt sich nur noch warum was bei meinem ersten Versuch
> nicht stimmt.
>  
> Zur Erklärung:
>  Die zweite Ableitung der Funktion soll kleiner 0 sein.
>  Das wird sie, wenn der Term (2+4x) < 0 ist und [mm](x-1)^4[/mm] >

> 0
>  oder
>  wenn der Term (2+4x) > 0 ist und [mm](x-1)^4[/mm] < 0 ist.

>  
> So gesehen, kann [mm](x-1)^4[/mm] nicht negativ werden,
>  also kann die erste Möglichkeit nicht eintreffen und bei
> der zweiten muss ich dann lediglich noch überprüfen ob es
> [mm]\not=[/mm] 1 ist.
>  
> Ob der Gedankengang richtig ist, müsste mir einer von euch
> sagen ^^


Er ist richtig.

FRED

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Bezug
konvex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 07.02.2016
Autor: notinX

Wenn Du eine Antwort erwartest, solltest Du Deinen Artikel als Frage deklarieren - nicht als Mitteilung.


> Eine Funktion kann konvex oder konkav sein und muss keine
> Nullstelle besitzen.

Klar kann das sein. Wenn sie aber ihre Krümmung ändert, hat die zweite Ableitung eine Nullstelle.

>  
> Ich hab es mal auf einen anderen Ansatz versucht,
>  
> f"(x) < 0
> <=> (2+4x < 0 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not=[/mm] 1)
>  <=> (x < [mm]-\bruch{1}{2} \wedge[/mm] x [mm]\not=[/mm] 1)

>  Also x [mm]\in ]\infty; -\bruch{1}{2}[[/mm]

Nein, die Funktion f ist konkav wenn: [mm] $x\leq -\frac{1}{2}$ [/mm]
Das zugehörige Intervall ist: [mm] $]-\infty,-\frac{1}{2}]$ [/mm]

>  
> So komme ich auf das gewünschte Ergebnis,
>  fragt sich nur noch warum was bei meinem ersten Versuch
> nicht stimmt.
>  
> Zur Erklärung:
>  Die zweite Ableitung der Funktion soll kleiner 0 sein.
>  Das wird sie, wenn der Term (2+4x) < 0 ist und [mm](x-1)^4[/mm] >

> 0

[ok]

>  oder
>  wenn der Term (2+4x) > 0 ist und [mm](x-1)^4[/mm] < 0 ist.

>  
> So gesehen, kann [mm](x-1)^4[/mm] nicht negativ werden,
>  also kann die erste Möglichkeit nicht eintreffen und bei

Falsch, der zweite Fall kann nicht eintreten, da [mm] $(x-1)^4\geq [/mm] 0$

> der zweiten muss ich dann lediglich noch überprüfen ob es
> [mm]\not=[/mm] 1 ist.
>  
> Ob der Gedankengang richtig ist, müsste mir einer von euch
> sagen ^^

Ja, prinzipiell ist er das.

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
konvex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:41 So 07.02.2016
Autor: JXner

Eine Funktion ist konkav für f"(x) < 0 oder konvex für f"(x) [mm] \ge [/mm] 0.

Der zugehörige Intervall ist [mm] ]-\infty; -\bruch{1}{2}[ [/mm]
kleiner Fehler meinerseits, habe vergessen das "-" abzutippen.

Danke für eure Hilfe ^^
Frage ist für mich dann soweit geklärt :)

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