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Forum "Funktionalanalysis" - konvex und abgeschlossen
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konvex und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Fr 15.11.2013
Autor: lukas10000

Aufgabe
Sei C := [mm] \{x\in l^2 | x_n \ in [0,1] \forall n\in\IN \} [/mm]
Zeige, dass C konvex ist und abgeschlossen.

Also für konvex seien [mm] x,y\in [/mm] C gegeben. Zeige, dass für [mm] \lambda\in [/mm] [0,1], dann auch [mm] x\lambda [/mm] + [mm] (1-\lambda)y \in [/mm] C.
Der Ausdruck ist größer gleich 0. Aber dass dieser kleiner gleich 1 ist sehe ich nicht.

Für abgeschlossen. Ich nehme eine Folge [mm] (x^{(m)})_{m\in\IN} [/mm] in C mit [mm] x^{(m)}\to [/mm] x [mm] \in l^2. [/mm]
Zu zeigen ist also dann: [mm] x_n \in [/mm] [0,1] für alle [mm] n\in\IN. [/mm]
Da stehe ich genauso auf dem Schlauch. Vielleicht müsste ich erstmal die Konvexität dafür haben.

        
Bezug
konvex und abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Fr 15.11.2013
Autor: Ladon

Ich denke, dass [mm] $l^2$ [/mm] ja der Folgenraum ist. Jetzt hast du ja speziell die 2-summierbaren Folgen, deren Elemente (und zwar alle!) gerade in dem Intervall [0,1] liegen.
Wie kannst du [mm]x\lambda[/mm] + [mm](1-\lambda)y [/mm] nach oben durch möglichst große x und y abschätzen, wenn deren Elemente immer in dem Intervall [0,1] sind?
Und bzgl. abgeschlossen: Wie war das noch mal mit dem Grenzwert von Folgen, die auf einem kompakten Intervall, wie z.B. [0,1] definiert sind?
Ein paar Denkanstöße ;-)

MfG Ladon


Bezug
                
Bezug
konvex und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Sa 16.11.2013
Autor: lukas10000

Ist das so richtig Argumentiert?:

konvex: [mm] 0\le \lambda x_n [/mm] + [mm] (1-\lambda) y_n \le \lambda \sup_{n\in\IN} |x_n| [/mm] + [mm] (1-\lambda) \sup_{n\in\IN} |y_n| \le \lambda [/mm] 1 + [mm] (1-\lambda) [/mm] 1 = 1.
Damit also [mm] \lambda x_n [/mm] + [mm] (1-\lambda) y_n \in [/mm] [0,1]

C abgeschlossen:
Sei [mm] (x^{(m)})_{m\in\IN} [/mm] eine Folge aus C mit [mm] x^{(m)} \to x\in l^2. [/mm]
Damit [mm] x^{(m)}_n \to x_n\in l^2 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm]
Da nun [0,1] abgeschlossenes Intervall ist, gilt, dass der Grenzwert von [mm] x^{(m)}_n [/mm] ebenfalls in [0,1] liegt, d.h. [mm] x_n\in [/mm] [0,1] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] also [mm] x\in [/mm] [0,1], womit [mm] x\in [/mm] C ist.

Bezug
                        
Bezug
konvex und abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Sa 16.11.2013
Autor: Ladon


> Ist das so richtig Argumentiert?:
>  
> konvex: [mm]0\le \lambda x_n[/mm] + [mm](1-\lambda) y_n \le \lambda \sup_{n\in\IN} |x_n|[/mm]
> + [mm](1-\lambda) \sup_{n\in\IN} |y_n| \le \lambda[/mm] 1 +
> [mm](1-\lambda)[/mm] 1 = 1.
>  Damit also [mm]\lambda x_n[/mm] + [mm](1-\lambda) y_n \in[/mm] [0,1]

Das hört sich schon mal gut an.

> C abgeschlossen:
>  Sei [mm](x^{(m)})_{m\in\IN}[/mm] eine Folge aus C mit [mm]x^{(m)} \to x\in l^2.[/mm]
>  
> Damit [mm]x^{(m)}_n \to x_n\in l^2[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>  Da nun [0,1] abgeschlossenes Intervall ist, gilt, dass der
> Grenzwert von [mm]x^{(m)}_n[/mm] ebenfalls in [0,1] liegt, d.h.
> [mm]x_n\in[/mm] [0,1] für alle [mm]n\in\IN,[/mm] also [mm]x\in[/mm] [0,1], womit [mm]x\in[/mm]
> C ist.

Hört sich auch gut an.

MfG Ladon

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