konvexe Fkt,kein Minimum < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR \to \IR [/mm] konvex. Zeigen Sie:
Falls F sein Minimum auf [mm] \IR [/mm] nicht annimmt, so gilt [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-n,n): F(x) > min{F(n), F(-n)}. |
Hallo,
also F: [mm] \IR^N \to \IR\cup\infty [/mm] heißt konvex, gdw [mm] F(\alpha x+(1-\alpha)y) \le \alpha F(x)+(1-\alpha)F(y), \forall x,y\in\IR^N, \alpha\in[0,1].
[/mm]
Wie kann ich denn zeigen, dass F das Minimum nicht auf [mm] \IR [/mm] annehmen kann?
Gruß
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Sa 06.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei F: [mm]\IR \to \IR[/mm] konvex. Zeigen Sie:
> Falls F sein Minimum auf [mm]\IR[/mm] nicht annimmt, so gilt
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] (-n,n): F(x) >
> min{F(n), F(-n)}.
Zeige:
* Es gilt wegen der Konvexitaet immer $F(x) [mm] \ge \min\{ F(n), F(-n) \}$.
[/mm]
* Angenommen, es gilt Gleichheit, etwa fuer ein [mm] $x_0$
[/mm]
* Folgere daraus, mit der Konvexitaet, dass $F(x) [mm] \ge F(x_0)$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.
Allgemein reicht es zu zeigen: ist $f(x) = f(y)$ fuer $x [mm] \neq [/mm] y$ und ist $f$ konvex, so nimmt $f$ in $x$ und $y$ ein globales Minimum an.
LG Felix
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