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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mo 08.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Halli Hallo!
Nachdem ich das Wochenende nun über meiner Hausübung in Einführung in die Optimierung gebrütet habe, bleiben bei mir noch ein paar Fragen offen!
Es geht um konvexe/konkave Funktionen:
Definition: Eine Funktion heißt konvex, wenn gilt: [mm] f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).
[/mm]
Eine Funktion heißt konkav wenn -f konvex ist.
Aufgabe 1:
Welche der folgenden Funktionen sind konkav, welche konvex, welche weder konvex noch konkav?
bei drei Funtionen hab ich es schon gezeigt, aber mit folgenden beiden hab ich so meine Probleme:
b) [mm] f(x_{1},...,x_{n})=log(e^{x_{1}}+...+e^{x_{n}})
[/mm]
In obige Ungleichung transformiert erhalte ich:
[mm] log(e^{\lambda x_{1_{1}}+(1-\lambda)x_{1_{2}}}+...+e^{\lambda x_{n_{1}}+(1-\lambda)x_{n_{2}}}) \le \lambda log(e^{x_{1_{1}}}+...+e^{x_{n_{1}}})+(1-\lambda) log(e^{x_{1_{2}}}+...+e^{x_{n_{2}}})
[/mm]
Nun ja, hier komme ich irgendwie nicht recht weiter!
Ich wär echt dankbar für eine Inspiration!
e) das harmonische Mittel [mm] f(x_{1},...,x_{n})=(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}})^{-1}
[/mm]
hier komme ich auf :
[mm] (\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{\lambda x_{i_{1}}+(1-\lambda x_{i_{2}}}))^{-1} \le \bruch{\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{1}}}}+\bruch{1-\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{2}}}}
[/mm]
auch hier wär ich sehr dankbar, da ich selbst überhaupt keinen schritt vorwärts gekommen bin!
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo cremchen,
> Es geht um konvexe/konkave Funktionen:
> Definition: Eine Funktion heißt konvex, wenn gilt:
> [mm]f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).
[/mm]
>
> Eine Funktion heißt konkav wenn -f konvex ist.
>
> Aufgabe 1:
> Welche der folgenden Funktionen sind konkav, welche
> konvex, welche weder konvex noch konkav?
> bei drei Funtionen hab ich es schon gezeigt, aber mit
> folgenden beiden hab ich so meine Probleme:
>
> b) [mm]f(x_{1},...,x_{n})=log(e^{x_{1}}+...+e^{x_{n}})
[/mm]
> In obige Ungleichung transformiert erhalte ich:
> [mm]log(e^{\lambda x_{1_{1}}+(1-\lambda)x_{1_{2}}}+...+e^{\lambda x_{n_{1}}+(1-\lambda)x_{n_{2}}}) \le \lambda log(e^{x_{1_{1}}}+...+e^{x_{n_{1}}})+(1-\lambda) log(e^{x_{1_{2}}}+...+e^{x_{n_{2}}})
[/mm]
>
> Nun ja, hier komme ich irgendwie nicht recht weiter!
> Ich wär echt dankbar für eine Inspiration!
>
> e) das harmonische Mittel
> [mm]f(x_{1},...,x_{n})=(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}})^{-1}
[/mm]
> hier komme ich auf :
> [mm](\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{\lambda x_{i_{1}}+(1-\lambda x_{i_{2}}}))^{-1} \le \bruch{\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{1}}}}+\bruch{1-\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{2}}}}
[/mm]
>
> auch hier wär ich sehr dankbar, da ich selbst überhaupt
> keinen schritt vorwärts gekommen bin!
Bei beiden Aufgabe sehe ich in deinem Ansatz den Fehler, dass du falsch in die obige Bedingung eingesetzt hast.
Du scheinst irgendwie die Koordinaten des Vektors x für x und y aus der Bedingung eingesetzt zu haben.
Für b) mache ich es mal vor:
[mm] $x=(x_1,\ldots,x_n), y=(y_1,\ldots,y_n)$
[/mm]
Das Argument von f auf der linken Seite der Bedingungsgleichung lautet doch dann:
[mm] $\lambda x+(1-\lambda)y)=\lambda*(x_1,\ldots,x_n)+(1-\lambda)*(y_1,\ldots,y_n)=(\star)$
[/mm]
Um es in f einsetzen zu können, muss es als Vektor umgeformt werden:
[mm] $(\star)=(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1,\ldots,\lambda x_n+(1-\lambda)y_n)$
[/mm]
In f einsetzen:
[mm] $f((\lambda x_1+(1-\lambda)y_1,\ldots,\lambda x_n+(1-\lambda)y_n))=\log(e^{\lambda x_1+(1-\lambda)y_1}+\ldots+e^{\lambda x_n+(1-\lambda)y_n})$
[/mm]
So, ich denke, aber hier kannst du wieder "übernehmen".
Viele Grüße,
Marc
> Vielen Dank schonmal und liebe Grüße
> Ulrike
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 08.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo marc,
danke dass du dich meiner angenommen hast!
[mm]log(e^{\lambda x_{1_{1}}+(1-\lambda)x_{1_{2}}}+...+e^{\lambda x_{n_{1}}+(1-\lambda)x_{n_{2}}}) \le \lambda log(e^{x_{1_{1}}}+...+e^{x_{n_{1}}})+(1-\lambda) log(e^{x_{1_{2}}}+...+e^{x_{n_{2}}})
[/mm]
Das ist doch das gleiche, wie du schreibst, nur dass ich [mm] x=(x_{1_{1}},...,x_{n_{1}}) [/mm] und [mm] y=(x_{1_{2}},...,x_{n_{2}}) [/mm] setze!
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Ungleichung [mm]log(e^{\lambda x_{1_{1}}+(1-\lambda)x_{1_{2}}}+...+e^{\lambda x_{n_{1}}+(1-\lambda)x_{n_{2}}}) \le \lambda log(e^{x_{1_{1}}}+...+e^{x_{n_{1}}})+(1-\lambda) log(e^{x_{1_{2}}}+...+e^{x_{n_{2}}})
[/mm]
so umforme, dass ich sagen, kann ob es stimmt, oder nicht
genau wie bei
[mm](\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{\lambda x_{i_{1}}+(1-\lambda x_{i_{2}}}))^{-1} \le \bruch{\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{1}}}}+\bruch{1-\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{2}}}}
[/mm]
ich weiß einfach nicht wie ich das umformen soll!
Ich wär froh wenn du (oder auch wer anders (ich will ja keinen hilfswilligen abschrecken  )) mir da auch weiterhelfen könntest!
Liebe Grüße und vielen Dank
Ulrike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulrike,
> danke dass du dich meiner angenommen hast!
>
> [mm]log(e^{\lambda x_{1_{1}}+(1-\lambda)x_{1_{2}}}+...+e^{\lambda x_{n_{1}}+(1-\lambda)x_{n_{2}}}) \le \lambda log(e^{x_{1_{1}}}+...+e^{x_{n_{1}}})+(1-\lambda) log(e^{x_{1_{2}}}+...+e^{x_{n_{2}}})
[/mm]
>
>
> Das ist doch das gleiche, wie du schreibst, nur dass ich
> [mm]x=(x_{1_{1}},...,x_{n_{1}})[/mm] und [mm]y=(x_{1_{2}},...,x_{n_{2}})[/mm]
> setze!
Ja, klar, sorry 
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich die
> Ungleichung [mm]log(e^{\lambda x_{1_{1}}+(1-\lambda)x_{1_{2}}}+...+e^{\lambda x_{n_{1}}+(1-\lambda)x_{n_{2}}}) \le \lambda log(e^{x_{1_{1}}}+...+e^{x_{n_{1}}})+(1-\lambda) log(e^{x_{1_{2}}}+...+e^{x_{n_{2}}})
[/mm]
>
> so umforme, dass ich sagen, kann ob es stimmt, oder nicht
Ich schreibe jetzt lieber x und y
[mm] $\log\left(e^{\lambda x_{1}+(1-\lambda)y_1}+\ldots+e^{\lambda x_{n}+(1-\lambda)y_n}\right) \le \lambda \log\left(e^{x_1}+\ldots+e^{x_n}\right)+(1-\lambda) \log\left(e^{y_1}+...+e^{y_n}\right)$
[/mm]
Nun wende ich auf der rechten Seite ein  Logarithmusgesetz an:
[mm] $\gdw$ $\log\left(e^{\lambda x_{1}+(1-\lambda)y_1}+\ldots+e^{\lambda x_{n}+(1-\lambda)y_n}\right) \le \log\left(\left(e^{x_1}+\ldots+e^{x_n}\right)^{\lambda}\right)+ \log\left(\left(e^{y_1}+\ldots+e^{y_n}\right)^{(1-\lambda)}\right)$
[/mm]
Und noch eins auf der rechten Seite:
[mm] $\gdw$ $\log\left(e^{\lambda x_{1}+(1-\lambda)y_1}+\ldots+e^{\lambda x_{n}+(1-\lambda)y_n}\right) \le \log\left(\left(e^{x_1}+\ldots+e^{x_n}\right)^{\lambda}*\left(e^{y_1}+\ldots+e^{y_n}\right)^{(1-\lambda)}\right)$
[/mm]
Nun ist der [mm] $\log$ [/mm] monoton steigend, erhält also die Ordnung:
[mm] $\gdw$ $e^{\lambda x_{1}+(1-\lambda)y_1}+\ldots+e^{\lambda x_{n}+(1-\lambda)y_n} \le \left(e^{x_1}+\ldots+e^{x_n}\right)^{\lambda}*\left(e^{y_1}+\ldots+e^{y_n}\right)^{(1-\lambda)}$
[/mm]
Tja, und jetzt einfach nur noch ausmultiplizieren, vereinfachen, sehen, dass auf der linken Seite 0 übrig bleibt und rechts nur Potenzen mit positiver Basis...
Die zweite Aufgabe dann später.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Di 09.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo marc!
Vielen Dank für die Hilfe!!!!!
Mit dem Logarithmus kam ich noch nie so gut zurecht,....
aber ich muß echt sagen, dass dieses Forum hier klasse ist!
Das es hier soviel zu entdecken gibt (-> Logarithmusgesetze) war mir noch gar nicht aufgefallen!!
Also nochmal Vielen Dank!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 23:30 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulrike,
mal sehen, wie weit ich komme:
[mm] $\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\lambda x_i+(1-\lambda y_i)}\right)^{-1} \le \bruch{\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_i}}+\bruch{1-\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{y_i}}$
[/mm]
Ich setze [mm] $X:=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_i}$ [/mm] und [mm] $Y:=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{y_i}$ [/mm] und erhalte
[mm] $\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\lambda x_i+(1-\lambda y_i)}\right)^{-1} \le \bruch{\lambda}{X}+\bruch{1-\lambda}{Y}$
[/mm]
und multipliziere mit allen Nennern:
$X*Y [mm] \le \left(\lambda*Y+(1-\lambda)*X\right)* \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\lambda x_i+(1-\lambda y_i)}$
[/mm]
Weiter komme ich jetzt erst mal auch nicht, war vielleicht doch ein Holzweg.
Aber es ist ja noch etwas Zeit für die Aufgabe.
Liebe Grüße,
Marc
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Hallo Ulrike,
Ich hab mal den einfachen Fall n=1 genommen.
Für [mm] \lambda=0,5
[/mm]
Komme ich für x=0,5 und y=0,5
links auf 1 und rechts auf 0.5
Für x=2 ,y=2
links auf 1 und rechts auf 2
Also gilt weder konvex noch konkav.
Hab ich mich verrechnet?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:25 Di 09.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Mathemaduenn!
Danke dass du dich auch hier einschaltest! Mehr Köpfe sind meistens schlauer
Ich glaube aber du hast dich verrechnet
[mm] (\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{\lambda x_{i_{1}}+(1-\lambda x_{i_{2}}}))^{-1} \le \bruch{\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{1}}}}+\bruch{1-\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{2}}}}
[/mm]
> Ich hab mal den einfachen Fall n=1 genommen.
> Für [mm]\lambda=0,5
[/mm]
> Komme ich für x=0,5 und y=0,5
> links auf 1 und rechts auf 0.5
ich komme auf:
[mm] (\bruch{1}{0,5*0,5+0,5*0,5})^{-1}\le\bruch{0,5}{\bruch{1}{0,5}}+\bruch{0,5}{\bruch{1}{0,5}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\bruch{1}{0,5}}\le\bruch{1}{\bruch{1}{0,5}}
[/mm]
> Für x=2 ,y=2
> links auf 1 und rechts auf 2
Hier komme ich ebenfalls darauf, dass beide Seiten gleich sind:
[mm] (\bruch{1}{0,5*2+0,5*2})^{-1}\le\bruch{0,5}{\bruch{1}{2}}+\bruch{0,5}{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\bruch{1}{2}}\le\bruch{1}{\bruch{1}{2}}
[/mm]
> Also gilt weder konvex noch konkav.
Heißt Gleichheit denn eigentlich sowohl konvex als auch konkav? (Wie zum Beispiel eine Gerade?)
Vielleicht helfen unsere Rechenbeispiele ja so ein wenig weiter!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Di 09.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Halli hallo!
ich hab auch mal ein bißchen umgeformt, und bin nun auf eine Form gekommen, die eigentlich gar nicht sooo schlecht aussieht, aber wie es weitergehen soll, weiß ich auch nicht....
Sie lautet:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}}*\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{y_{i}}\le\lambda*\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\lambda x_{i}+(1-\lambda)y_{i}}*(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{y_{i}}-\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}})+\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}}*\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\lambda x_{i}+(1-\lambda)y_{i}}
[/mm]
dann könnte man noch machen:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}}*(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{y_{i}}-\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\lambda x_{i}+(1-\lambda)y_{i}})\le\lambda*\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\lambda x_{i}+(1-\lambda)y_{i}}*(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{y_{i}}-\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}})
[/mm]
Diese Aufgabe ist echt verflixt!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:29 Mi 10.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Marcel!
Ja, das mit der Hessematrix haben wir auch so gemacht!
Ich habe auch schon versucht die Hessematrix zu bilden, aber ich komme auf keine Form, die mich der Lösung näherbringen würde....
Wenn ich die Funktion habe [mm] f(x_{1},...,x_{n})=(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}})^{-1}
[/mm]
Dann lautet doch die erste Ableitung nach [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] f'(x)=((\bruch{1}{x_{1}}+...+\bruch{1}{x_{n}})^{-1})'=-(\bruch{1}{x_{1}}+...+\bruch{1}{x_{n}})^{-2}*(-\bruch{1}{(x_{1})^{2}})=\bruch{1}{(x_{1})^{2}*(\bruch{1}{x_{1}}+...+\bruch{1}{x_{n}})^{2}}
[/mm]
Also wenn ich ehrlich bin, find ich das schon ziemlich eklig, und ich hab mir auch nicht die Mühe gemacht weitere Ableitungen davon zu bilden!
Geht es denn da weiter?
Aber es wird ja keine Ableitung mal zu 0 oder so, und wenn ich von dem ganzen Kladeradatsch dann nachher noch die Determinante berechnen soll?
Deswegen hatte ich gedacht, dass ich auf dem Weg der Umformung von dieser Ungleichung doch besser voran komme.....
Ich hoffe wir kriegen das bis heute Abend noch hin!
Schonmal lieben Dank für all eure Hilfe!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ulrike,
> Hallo Marcel!
>
> Ja, das mit der Hessematrix haben wir auch so gemacht!
>
> Ich habe auch schon versucht die Hessematrix zu bilden,
> aber ich komme auf keine Form, die mich der Lösung
> näherbringen würde....
>
> Wenn ich die Funktion habe
> [mm]f(x_{1},...,x_{n})=(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}})^{-1}
[/mm]
> Dann lautet doch die erste Ableitung nach [mm]x_{1}
[/mm]
>
> [mm]f'(x)=((\bruch{1}{x_{1}}+...+\bruch{1}{x_{n}})^{-1})'=-(\bruch{1}{x_{1}}+...+\bruch{1}{x_{n}})^{-2}*(-\bruch{1}{(x_{1})^{2}})=\bruch{1}{(x_{1})^{2}*(\bruch{1}{x_{1}}+...+\bruch{1}{x_{n}})^{2}}
[/mm]
Ja, stimmt. Ich hatte die Aufgabe gestern unsauber aufgeschrieben, weshalb ich bei der Hessematrix Nulleinträge hatte, wo aber keine sind, und deshalb dachte, sofort zu sehen, dass die Hessematrix pos. definit ist.
Jetzt habe ich das ganze mal sauber gerechnet, und da kommt wirklich eine sehr unschöne Hessematrix (bzw. Kladeradatsch ) raus. Zumindest, falls ich mich nicht wieder verrechnet habe. Also gehen wir diesen Weg doch besser erstmal nicht weiter... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Jetzt, wo ich die Sache mal vor mir liegen habe (ich bin eben erst nach Hause gekommen):
Ich hatte anstatt von [mm] $f(x_{1},...,x_{n})=\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}}\right)^{-1}$ [/mm] die Hessematrix von:
[mm] \hat{f}:=\frac{1}{f} [/mm] berechnet; da war mein Fehler...
Wir wissen jetzt immerhin:
Die Hessematrix von [mm] $\hat{f}(x_{1},...,x_{n})=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}}$
[/mm]
ist stets positiv definit, also ist [mm] $\hat{f}=\frac{1}{f}$ [/mm] konvex (das hätte man sich auch anders überlegen können...). Aber hilft uns das weiter? Ich wüßte jedenfalls nicht,wie...
> Ich hoffe wir kriegen das bis heute Abend noch hin!
Ich hoffe das auch!
> Schonmal lieben Dank für all eure Hilfe!
>
> Liebe Grüße
> Ulrike
Liebe Grüße,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:55 Mi 10.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Marcel!
Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung ob uns das Wissen was bringt!
Ich hab auch in meinen Unterlagen keine Regeln für den Umgang mit der Hesse-Matrix gefunden!
Aber vielleicht weiß ja jemand anders Bescheid, ob man aus einer positiv definiten Hesse-Matrix für eine Funktion f etwas auf die Hesse-Matrix der Funktion [mm] \bruch{1}{f} [/mm] schließen kann????
Ich wär echt dankbar dafür, denn das würd mich abgesehen von der Lösung dieser Aufgabe auch so mal interessieren!
Vielen Dank und liebe Grüße
Ulrike
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Ulrike, lieber Marcel!
Leider bringt die Info nicht viel. Denn wenn eine Funktion $f$ konvex ist, ist [mm] $\frac{1}{f}$ [/mm] i.A. nicht konvex, da die Funktion [mm] $g(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] auf [mm] $(0,+\infty)$ [/mm] zwar konvex, aber monoton fallend ist. (Sie müsste aber monoton steigend sein (oder konkav und monoton fallend)).
Mist!
Ich vermute die zu betrachtende Funktion ist weder konvex noch konkav. Kann man nicht mal versuchen Gegenbeispiele zu finden?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Stefan, liebe Ulrike,
> Liebe Ulrike, lieber Marcel!
>
> Leider bringt die Info nicht viel. Denn wenn eine Funktion
> [mm]f[/mm] konvex ist, ist [mm]\frac{1}{f}[/mm] i.A. nicht konvex, da die
> Funktion [mm]g(x)=\frac{1}{x}[/mm] auf [mm](0,+\infty)[/mm] zwar konvex,
> aber monoton fallend ist. (Sie müsste aber monoton steigend
> sein (oder konkav und monoton fallend)).
Ja, andere Kriterien habe ich in meinen (Operations-Research II-) Unterlagen auch nicht gefunden, deshalb habe ich ja dazu geschrieben, dass ich absolut nicht weiß, wie das uns helfen könnte.
> Mist!
Ja, Sch...
> Ich vermute die zu betrachtende Funktion ist weder konvex
> noch konkav. Kann man nicht mal versuchen Gegenbeispiele zu
> finden?
Ja, aber leider muss ich für morgen noch einen Übungszettel zu Ende bringen. Und ich fange mal wieder sehr früh damit an (ich habe immerhin eine von fünf Aufgaben; naja, besser als nix, wenn man sich nur 20 Minuten an den Zettel setzt... )
Ich denke, ich werde mich jetzt erstmal damit befassen, damit ich nicht eine eine Lösung zu nur einer Aufgabe abgebe. Wenigstens zwei oder drei Aufgaben sollten schon gelöst sein (bei der zweiten weiß ich schon den Weg, aber die Rechnung zu der Aufgabe hat mich so dermaßen abgeschreckt, dass ich keine Lust hatte, sie zu Ende zu führen...)
Liebe Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mi 10.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Halli hallo!
Nachdem es zusammen mit Mathemaduenn und den Annahmen n=1 und [mm] \lambda=0,5 [/mm] nicht geklappt hat hab ich jetzt mal mit n=2 und [mm] \lambda=0,5 [/mm] probiert!
Ich glaub ich hab eins, wär aber furchtbar dankbar wenn da nochmal jemand drübergucken könnte (ich bin heut Abend nicht so ganz klar in der Birne )
Also n=2 und [mm] \lambda=0,5
[/mm]
1) [mm] x_{1}=1, x_{2}=2, y_{1}=3 [/mm] und [mm] y_{2}=4
[/mm]
Ich bekomme:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{\lambda x_{i_{1}}+(1-\lambda x_{i_{2}}}))^{-1} \le \bruch{\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{1}}}}+\bruch{1-\lambda}{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i_{2}}}} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\bruch{1}{0,5+1,5}+\bruch{1}{1+2}}=\bruch{6}{5}\ge\bruch{25}{24}=\bruch{0,5}{\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}}+\bruch{0,5}{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}}
[/mm]
2) [mm] x_{1}=-2, x_{2}=-1, y_{1}=-4 [/mm] und [mm] y_{2}=-3
[/mm]
Dort bekomme ich:
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{-1-2}+\bruch{1}{-0,5-1,5}}=-\bruch{6}{5}\le-\bruch{25}{24}=\bruch{0,5}{-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}}+\bruch{0,5}{-\bruch{1}{1}-\bruch{1}{3}}
[/mm]
Das würde also bedeuten, dass das harmonische Mittel weder konvex noch konkav wäre!
Also wenn das nochmal kurz jemand überprüfen (und dann bitte bitte auch bestätigen ) könnte, wär ich echt oberhappy!!!!!!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:50 Do 11.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Ich habe alles nachgerechnet und konnte keine Fehler
> erkennen - Glückwunsch!!
>
> Du musst nur statt dem "[mm]\le[/mm]" ein "[mm]<[/mm]" schreiben und statt
> dem "[mm]\ge[/mm]" ein [mm]>[/mm], sonst hast du keinen Widerspruch.
>
> Hat sich meine Vermutung also bestätigt. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
>
> War eigentlich auch logisch, da im wesentlichen zwei auf
> [mm]\IR^+[/mm] konvexe und auf [mm]\IR^+[/mm] konkave Funktionen
> hintereinandergeschaltet wurden (wenn man von der Summe
> absieht, die aber nichts macht), nämlich zweimal die
> Funktion [mm]g(x) = \frac{1}{x}[/mm], und dies eine Funktion ist,
> die jeweils auf [mm]\IR^-[/mm] und [mm]\IR^+[/mm] streng monoton fallend ist.
> Daher ist der Teil auf [mm](\IR^+)^n[/mm] konkav und auf [mm](\IR^-)^n[/mm]
> konvex, und das hast du in deinem Gegenbeispiel ja auch
> wunderbar ausgenutzt.
Hm, ich dachte, das harmonische Mittel sei so definiert, dass alle [mm] $x_i>0$ [/mm] sein müssten. Sonst hätte ich ja auch schon gelogen, als ich sagte, dass die Eigenwerte der Hessematrix von [mm] $\hat{f}(x)=\summe_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}$ [/mm] alle stets positiv seien (das stimmt aber, wenn alle [mm] $x_i [/mm] > 0$ sind).
Ist die Funktion [mm] $f=\frac{1}{\hat{f}}$ [/mm] auf [mm] $(\IR^+)^n$ [/mm] wirklich konkav? Ich sehe jetzt nicht ganz ein, warum, denn auch dazu fällt mir kein Satz ein bzw. ich habe keinen gefunden (ist aber auch schon ziemlich spät ). Also: Beweis?
Außerdem:
Wenn man nicht [mm] $x_i [/mm] > 0$ voraussetzt, so kann ja für gewisse $z [mm] \in \IR^n$ [/mm] gelten, dass [mm] $\hat{f}(z)=0$ [/mm] und damit wäre [m]f(x)=\left(\summe_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}\right)^{-1}[/m] an diesen $z$'s gar nicht definiert!
Beim Heuser steht, glaube ich, auch diese Voraussetzung an den [mm] x_i^{\;\,}'s [/mm] drin. Oder ich habe mal wieder zu flüchtig gelesen...
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Do 11.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marcel, liebe Ulrike!
> Hm, ich dachte, das harmonische Mittel sei so definiert,
> dass alle [mm]x_i>0[/mm] sein müssten.
Kenne ich auch nur so, aber ich musste ja davon ausgehen, was Ulrike angegeben hat. Und wenn sie negative Werte einsetzt, dann gehe ich (solange nichts anderes erwähnt wird) davon aus, dass dies auch bei ihrer Aufgabe erlaubt ist. Aber gut, bleiben wir mal auch [mm] $(\IR_{>0})^n$. [/mm]
Dann stimmt natürlich Ulrikes Lösung jetzt nicht mehr!
> Sonst hätte ich ja auch schon
> gelogen, als ich sagte, dass die Eigenwerte der Hessematrix
> von [mm]\hat{f}(x)=\summe_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}[/mm] alle stets
> positiv seien (das stimmt aber, wenn alle [mm]x_i > 0[/mm] sind).
Kannst du das vielleicht mal bitte vorrechnen?
> Ist die Funktion [mm]f=\frac{1}{\hat{f}}[/mm] auf [mm](\IR^+)^n[/mm]
> wirklich konkav?
Hmmh, ich bin mir jetzt doch nicht mehr so sicher, eher doch nicht. Vielleicht kann man ja auch auf [mm] $(\IR_{>0})^n$ [/mm] ein Gegenbeispiel finden?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Do 11.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Halli hallo!
Ihr habt natürlich recht wenn ihr sagt, dass das harmonische Mittel nur positive Werte für die [mm] x_{i} [/mm] annehmen darf!
Da kann man mal sehen, wie bescheuert man werden kann, wenn man sich andauernd über eine Sache den Kopf zerbricht
Ich denke ich werde meine Übung einfach ohne diese Aufgabe abgeben, oder ich hab bis dahin noch einen Gedankenblitz wie man das machen könnte *g*
Also nochmal vielen lieben Dank für all eure Hilfe!!!!!!
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Do 11.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Lieber Marcel, liebe Ulrike!
>
> > Hm, ich dachte, das harmonische Mittel sei so definiert,
>
> > dass alle [mm]x_i>0[/mm] sein müssten.
>
> Kenne ich auch nur so, aber ich musste ja davon ausgehen,
> was Ulrike angegeben hat. Und wenn sie negative Werte
> einsetzt, dann gehe ich (solange nichts anderes erwähnt
> wird) davon aus, dass dies auch bei ihrer Aufgabe erlaubt
> ist. Aber gut, bleiben wir mal auch [mm](\IR_{>0})^n[/mm].
>
> Dann stimmt natürlich Ulrikes Lösung jetzt nicht mehr!
>
>
>
> > Sonst hätte ich ja auch schon
> > gelogen, als ich sagte, dass die Eigenwerte der
> Hessematrix
> > von [mm]\hat{f}(x)=\summe_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}[/mm] alle stets
>
> > positiv seien (das stimmt aber, wenn alle [mm]x_i > 0[/mm]
> sind).
>
> Kannst du das vielleicht mal bitte vorrechnen?
Hast du aufgepasst, dass ich von der Funktion [mm] $\hat{f}(x)=\summe_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}$ [/mm] gesprochen habe (und nicht von [mm] $f=\frac{1}{\hat{f}}$)?
[/mm]
Ich rechne es später vor, falls notwendig, aber hier das Resultat für die Hessematrix:
[mm] H_{\hat{f}}=diag((2x_i^{-3})_{i=1,...,n})
[/mm]
Muss jetzt in ne Vorlesung. ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]")
> > Ist die Funktion [mm]f=\frac{1}{\hat{f}}[/mm] auf [mm](\IR^+)^n[/mm]
> > wirklich konkav?
>
> Hmmh, ich bin mir jetzt doch nicht mehr so sicher, eher
> doch nicht. Vielleicht kann man ja auch auf
> [mm](\IR_{>0})^n[/mm] ein Gegenbeispiel finden?
>
>
> Liebe Grüße
> Stefan
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Do 11.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Stefan,
entschuldige bitte, ich hatte vorhin nur noch drei Minuten Zeit bis Beginn der Vorlesung (die heißt übrigens: "Geometrische Funktionentheorie", und sollte eigentlich "Höhere Funktionentheorie" heißen; und trotz des Begriffes Geometrie finde ich diese Vorlesung sehr interessant ), deshalb war die Mitteilung eher etwas stichwortartig und klang vielleicht unfreundlich, ich hoffe aber, dass das nicht so angekommen ist.
> Lieber Marcel!
>
> Okay, dann ist es wirklich nicht schwierig. Nee,
> brauchst du nicht vorzurechnen, ich hatte nicht genau
> hingeschaut.
Hatte ich mir schon gedacht bzw. ich hatte vermutet, dass du vielleicht die Hessematrix von [mm] $\frac{1}{\hat{f}}$ [/mm] gemeint hättest (die sieht wirklich besch... aus ).
Allerdings hast du mich mit deiner Frage so verunsichert, dass ich schon Selbstzweifel hatte und zwei Kommilitonen gebeten hatte, mal schnell die Hessematrix auszurechnen. Glücklicherweise kamen wir alle drei auf das gleiche Ergebnis. D.h., solange wir in der Vorlesung nichts falsches gelernt hatten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis stimmt, sehr hoch.
Liebe Grüße,
Marcel
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