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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem Messraum [mm] $\left(\Omega , \mathcal{A}\right)$.
[/mm]
(a) Zeigen sie dass [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] konvex ist.
(b) Sei [mm] $\Omega$ [/mm] abzählbar. Beschreiben sie die Extremalpunkte von [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] und zeigen sie, dass sich jedes [mm] $P\in\mathcal{P} [/mm] $ darstellen lässt als:
$$P = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i}P_i$$
[/mm]
mit [mm] $\alpha_i \ge [/mm] 0 $, [mm] $\sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} [/mm] = 1$, [mm] $P_i$ [/mm] extremal. |
Hey, ich bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabe korrekt gelöst habe und hoffe auf Verbesserungsvorschläge.
Also zu (a):
Ich nehme einfach zwei Maße aus [mm] \mathcal{P} [/mm] und zeige, dass
$P = [mm] \lambda P_p +(1-\lambda)P_q$ [/mm] für [mm] $\lambda\in\left[ 0,1\right]$ [/mm] wieder ein Wmaß ist.
Also [mm] $P(\Omega)=1$ [/mm] und [mm] $P\left(\cup_n A_n\right) [/mm] = [mm] \sum_n P\left(A_n\right)$ [/mm] für $ (An)$ p.d., das hab ich durchgerechnet, glaube nicht dass es da Probleme gibt auf die ich nicht geachtet hab.
zu (b):
Ich nehme an die Extremalpunkte sind:
Sei [mm] $A\in\mathcal{A}$ P_i [/mm] (A) [mm] =\begin{cases}
1, & \text{wenn }\omega_i\in A \\
0, & \text{ sonst}
\end{cases} [/mm]
Da [mm] $\Omega$ [/mm] abzählbar ist kann man die Elemente ja einfach durchnummerieren. Wenn jetzt p die Zähldichte ist, dann ist doch [mm] $P(\Omega)= \sum_{\omega\in\Omega} p(\omega)= \sum_{i=1}^{\infty} p(\omega_i) [/mm] = 1$ also können wir sagen [mm] $p(\omega_i)= \alpha_i$ [/mm] und dann ist
$P(A) = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_i P_i [/mm] (A) = [mm] \sum_{\omega\in\mathcall{A}} \alpha_{\omega}$ [/mm]
So dass sind so grob meine Gedanken zu dem ganzen, würde mich freuen wenn einer noch schnell ein paar Sachen dazu sagen kann, vielen Dank für die Mühe schonmal im vorraus!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\mathcal{P}[/mm] die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße
> auf einem Messraum [mm]\left(\Omega , \mathcal{A}\right)[/mm].
> (a)
> Zeigen sie dass [mm]\mathcal{P}[/mm] konvex ist.
> (b) Sei [mm]\Omega[/mm] abzählbar. Beschreiben sie die
> Extremalpunkte von [mm]\mathcal{P}[/mm] und zeigen sie, dass sich
> jedes [mm]P\in\mathcal{P}[/mm] darstellen lässt als:
> [mm]P = \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i}P_i[/mm]
> mit [mm]\alpha_i \ge 0 [/mm],
> [mm]\sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} = 1[/mm], [mm]P_i[/mm] extremal.
>
> Hey, ich bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabe korrekt
> gelöst habe und hoffe auf Verbesserungsvorschläge.
>
> Also zu (a):
>
> Ich nehme einfach zwei Maße aus [mm]\mathcal{P}[/mm] und zeige,
> dass
> [mm]P = \lambda P_p +(1-\lambda)P_q[/mm] für [mm]\lambda\in\left[ 0,1\right][/mm]
> wieder ein Wmaß ist.
> Also [mm]P(\Omega)=1[/mm] und [mm]P\left(\cup_n A_n\right) = \sum_n P\left(A_n\right)[/mm]
> für [mm](An)[/mm] p.d., das hab ich durchgerechnet, glaube nicht
> dass es da Probleme gibt auf die ich nicht geachtet hab.
Ja, das sollte ohne Probleme gehen.
> zu (b):
> Ich nehme an die Extremalpunkte sind:
> Sei [mm]A\in\mathcal{A}[/mm] [mm]P_i[/mm] (A) [mm]=\begin{cases}
1, & \text{wenn }\omega_i\in A \\
0, & \text{ sonst}
\end{cases}[/mm]
Genau. Ich vermute jetzt aber, dass du das auch noch beweisen sollst :)
> Da [mm]\Omega[/mm] abzählbar ist kann man die Elemente ja einfach
> durchnummerieren. Wenn jetzt p die Zähldichte ist, dann
> ist doch [mm]P(\Omega)= \sum_{\omega\in\Omega} p(\omega)= \sum_{i=1}^{\infty} p(\omega_i) = 1[/mm]
> also können wir sagen [mm]p(\omega_i)= \alpha_i[/mm] und dann ist
> [mm]P(A) = \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_i P_i (A) = \sum_{\omega\in\mathcall{A}} \alpha_{\omega}[/mm]
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Mapunzel |
danke für das Bestätigen meiner Überlegungen :)
War auch alles soweit richtig, hab mit unserem Assistenten darüber geredet. Zu Zeigen dass das Diracmaß Extremalpunkte sind hab ich auch noch geschafft aber hatte Probleme damit zu zeigen, dass das wirklich alle sind. Aber jetzt ist alles klar!
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