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| Aufgabe | Bestimmen Sie die kritischen Punkte und ihren Typ für:
f(x,y)= [mm] x^2(2-y)-y^3+3x^2+9y [/mm] |
Hallo,
hier sind die partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{df}{dx}= [/mm] 10x-2xy
[mm] \bruch{df}{dy}= -3y^2-x^2+9
[/mm]
[mm] \bruch{df}{d^2x}= [/mm] 10-2y
[mm] \bruch{df}{d^2y}=-6y
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dxy}= \bruch{df}{dyx}= [/mm] -2x
stimmen die?
nun weiß ich wieder nicht weiter.
10x-2xy=0 2x(5-y)=0
[mm] -3y^2-x^2+9=0
[/mm]
bei 2x(5-y) gibt es doch unendlich fälle wenn x =0 ist bzw wenn y=5 ist? hab ich denn unendlich viele mögliche Extremstellen? :S
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Hallo,
> Bestimmen Sie die kritischen Punkte und ihren Typ für:
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> f(x,y)= [mm]x^2(2-y)-y^3+3x^2+9y[/mm]
> Hallo,
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> hier sind die partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{df}{dx}=[/mm] 10x-2xy
>
> [mm]\bruch{df}{dy}= -3y^2-x^2+9[/mm]
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> [mm]\bruch{df}{d^2x}=[/mm] 10-2y
>
> [mm]\bruch{df}{d^2y}=-6y[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dxy}= \bruch{df}{dyx}=[/mm] -2x
>
> stimmen die?
also diese Funktion ableiten kann nun wirklich nicht das Problem sein...
>
> nun weiß ich wieder nicht weiter.
> 10x-2xy=0 2x(5-y)=0
Versuch doch einfach mal ein bisschen anders umzuformen...
Aber gut für Bestimmung der Extrempunkte auf deiner vermutlich offenen Grundmenge [mm] \IR^{2} [/mm] genügt es die Ableitungen 1.Ordnung = 0 zu betrachten
> [mm]-3y^2-x^2+9=0[/mm]
>
> bei 2x(5-y) gibt es doch unendlich fälle wenn x =0 ist bzw
> wenn y=5 ist? hab ich denn unendlich viele mögliche
> Extremstellen? :S
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Nein das GLS ist lösbar. sofern ich mich nicht verschaut habe kriegst du aber vermutlich reelle und komplexe Lösungen raus.
Lg
THomas
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soll ich die erste Ableitung von y nach y umformen und dann in die erste Ableitung von x einsetzen?
wäre das der richtige Ansatz?
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Du kannst natürlich eine Ableitung nach einer Variablen ausdrücken und in die andere Ableitung einsetzen. Klar ist das eine Möglichkeit.
Sieh mal du hast ein GLS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten x,y - zur Bestimmung der Extrema muss jede dieser Gleichungen = 0 erfüllen. (Notwendige Bedingung). Dieses GLS löst du ganz normal wie jedes andere. durch Eliminieren, Einsetzen etc. das bleibt dir überlassen.
Lg
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ok, mach ich mal heute abend fertig dann stell ich mal die Lösungen online, danke.
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Hallo,
ich habe jetzt die Gleichung [mm] -3y^2-x^2+9=0 [/mm] nach y aufgelöst.
dann bekomme ich:
[mm] y_1= \wurzel{-\bruch{1}{3}x^2+3}
[/mm]
[mm] y_2= -\wurzel{-\bruch{1}{3}x^2+3}
[/mm]
ich weiß jetzt nicht weiter, normalerweise wenn unter der Wurzel ein minus ist gibt es keine Lösung. Aber da vorhin schon die komplexen Zahlen angesprochen wurden, weiß ich nicht ob ich es so machen soll weil wir in der Analysis II die komplexen Zahlen nicht gemacht haben.
haben es in der linearen Algebra mal kurz gemacht aber auch nicht soo ausführlich.
also meine frage wenn ich jetzt nicht die Lösung als komplexe Zahl darstellen soll, wäre ich denn fertig mit der Begründung es gibt keine Extremstellen? oder wie soll ich es jetzt machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Di 18.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch aus der ersten Gl
x*(5-y)=0 die 2 Lösungen x=0 oder z=5
die setzt du nacheinander in die 2 te Gl. ein, für x=0 hat die dann 2 Lösungen , für y =5 findest du kein reeles x. also hast du 2 kritische Punkte,
Dein vorgehen ist nicht so sinnvoll, weil die erste Gl. ja leichter zu lösen ist. aber auch hier kannst du ja x=0 einsetzen
Gruss leduart
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Ich habe jetzt die stellen x=0 und y=5 in die zweite Gleichung [mm] -3y^2-x^2+9 [/mm] eingesetzt und da bekomme ich die Werte - [mm] \wurzel{3} [/mm] und [mm] \wurzel{3} [/mm] raus.
Also habe ich jetzt zwei mögliche Extremstellen [mm] (0,-\wurzel{3}) [/mm] und [mm] (0,\wurzel{3}).
[/mm]
Für [mm] (0,-\wurzel{3}) [/mm] lautet die Hesse-Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
13,46 & 0 \\
0 & 10,39
\end{pmatrix}
[/mm]
die matrix ist positiv definit daraus folgt ein Tiefpunkt
Für [mm] (0,\wurzel{3}) [/mm] lautet die Hesse-Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
6,5 & 0 \\
0 & -10,4
\end{pmatrix}
[/mm]
und hier ist ein Sattelpunkt richtig?
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Hallo ellegance88,
ich habe nicht nachgerechnet, sondern gehe davon aus, dass deine Werte und die Hessematrizen stimmen.
> Ich habe jetzt die stellen x=0 und y=5 in die zweite
> Gleichung [mm]-3y^2-x^2+9[/mm] eingesetzt und da bekomme ich die
> Werte - [mm]\wurzel{3}[/mm] und [mm]\wurzel{3}[/mm] raus.
> Also habe ich jetzt zwei mögliche Extremstellen
> [mm](0,-\wurzel{3})[/mm] und [mm](0,\wurzel{3}).[/mm]
Wenn die Gleichung stimmt, ist das für $x=0$ richtig!
>
> Für [mm](0,-\wurzel{3})[/mm] lautet die Hesse-Matrix:
> [mm]\begin{pmatrix}
13,46 & 0 \\
0 & 10,39
\end{pmatrix}[/mm]
>
> die matrix ist positiv definit daraus folgt ein Tiefpunkt
Ja, daraus folgt, dass an der Stelle [mm] $(x,y)=(0,-\sqrt [/mm] 3)$ ein lokales Minimum vorliegt
>
> Für [mm](0,\wurzel{3})[/mm] lautet die Hesse-Matrix:
> [mm]\begin{pmatrix}
6,5 & 0 \\
0 & -10,4
\end{pmatrix}[/mm]
> und hier ist ein
> Sattelpunkt richtig?
Das stimmt auch!
Was ist mit dem oben von dir erwähnten $y=5$?
Gibt es dazu auch x-Wert(e) ?
Gruß
schachuzipus
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y=5 hab ich nicht gemacht, weil es imaginäre zahlen sein müssten habe [mm] x^2=-64 [/mm] stimmt doch oder? :)
Lg
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Hallo nochmal,
> y=5 hab ich nicht gemacht, weil es imaginäre zahlen sein
> müssten habe [mm]x^2=-64[/mm] stimmt doch oder? :)
Jo, jetzt, wo du es sagst (bzw. schreibst) ... 
>
> Lg
Zurück!
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich komme bei den partiellen Ableitungen auf etwas anderes und habe demzufolge andere kritische Stellen ...
Rechne vllt. nochmal nach ...
Gruß
schachuzipus
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ich habe die nochmal nachgerechnet aber bei mir kommt das selbe raus. Bei welcher Ableitung ist denn ein Unterschied zusehen?
Habe eben auch den Ableitungsrechner online benutzt aber der spuckt auch die gleichen Ableitungen raus, die ich habe.
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Hallo,
Deine Ergebnisse sind richtig.
LG Angela
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Hallo nochmal,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Ich bin zu dumm, zwei Zahlen zu addieren, daher hatte ich einen Fehler
Liebe Grüße
schachuzipus
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