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kritische Punkte, Polarkoordin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 So 16.09.2007
Autor: pleaselook

Aufgabe
Sei [mm] f:\IR^2->\IR, f(x,y)=det\pmat{y&x\\y^3&x^3}. [/mm]
1)Berechnen Sie die totale Ableitung von f und bestimmen Sie alle kritischen Punkte von f.
2)Geben sie f in Polarkoordinaten an und berechnen Sie alle Punkte an denen f verschwindet.  

Moin Moin.

Also den ersten Teil hab ich glaub ich soweit. Nur beim zweiten fehlt mir ein wenig der Plan.

[mm] f(x,y)=x^3y-xy^3 [/mm]

zu 1)
grad [mm] f(x,y)=(3x^2y-y^3, x^3-3xy^2) [/mm]
I) [mm] 3x^2y-y^3=0 [/mm]
II) [mm] x^3-3xy^2=0 [/mm]

[mm] \rightarrow [/mm] x=0, y=0, aber [mm] (x\neq [/mm] 0) entsteht bei der Umformung
det [mm] H_f(0,0) [/mm] = 0, aber das hätte ich glaub ich gar nicht betrachten müssen.

Also muß ich mal Stetigkeit in diesem Punkt getrachten

f(0,0)=0

[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,0)=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x}^3y-\bruch{1}{x}y^3=0 [/mm]
entsprechendes gilt für [mm] \limes_{y\rightarrow 0}f(0,y) [/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] stetig in (0/0), aber nicht diff.-bar

Muß ich jetzt noch was betrachten?

2)
Gute Frage. Da bräuchte ich mal dringend Hilfe.


        
Bezug
kritische Punkte, Polarkoordin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 So 16.09.2007
Autor: Hund

Hallo,

die Funktion ist ja ein einfaches Polynom, also ist sie total diffbar. und du kannst ganz einfach grad f brechnen, was du ja auch richtig gemacht hast. Den Rest verstehe ich bei deiner Argumentation nicht so ganz. Du musst doch einfach den Gradienten 0 setzten und das Gleichungssystem dann lösen und danach die Hesse-Matrix betrachten.

Bei der zweiten Aufgabe setzt du einfach die Transformationsformeln:
x=rcos phi
y=rsin phi
in die Funktion ein und berechnest die Nullstellen.

Ich hoffe, es hat dir geholfen.

Gruß
Hund

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