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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Mo 09.05.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Stellen Sie zu einer gegebenen kubischen Gleichung [mm] x^3 +ax^2 +bx +c =0[/mm] diejenige kubische Gleichung auf, welche als Lösung die Quadrate der vorgegebenen Gleichung besitzt. |
kann ich die Aufgabe mit Hilfe der Lagrang´schen Interpolationsformel lösen?
ich habe die kubische Gleichung [mm] f(x)= x^3 +ax^2 +bx +c [/mm] mit den Lösungen [mm]x_1 , x_2 , x_3 [/mm] (Polynom 3. Graden hat höchstens 3 Nullstellen in [mm]\IR [/mm] )
und suche ein Polynom 3. Graden mit der Eigenschaft [mm]P_3 (x_i ^2 ) =0 [/mm] für [mm]i= 1,2,3 [/mm]
also brauche ich noch eine Hilfsfunktion [mm]h(z) [/mm] mit [mm] h(x_i ^2) =0[/mm] für [mm] i=1,2,3 [/mm]
eine solche Funktion wäre
[mm] h(x) = (x_1 ^2 - x^2)(x_2 ^2 - x^2)(x_3 ^2 - x^2)[/mm]
dann ist
[mm] P_3 (x) = \summe_{j=1}^{3} h(x_j) g_j (x) [/mm]
mit [mm] g_j (x) = \produkt_{i=0, i \not= j}^{3}\bruch{x-x_i }{x_j -x_i } [/mm] und [mm] g_j (x_i ) = 0[/mm] für [mm]i \not= j [/mm] , [mm] g_j (x_j ) = 1[/mm] [mm]\forall j [/mm]
ein Polynom 3. Grades, also eine kubische Gleichung, mit der gewünschten Eigenschaft.
Oder nicht?
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Hallo ella,
da ist was faul.
> Stellen Sie zu einer gegebenen kubischen Gleichung [mm]x^3 +ax^2 +bx +c =0[/mm]
> diejenige kubische Gleichung auf, welche als Lösung die
> Quadrate der vorgegebenen Gleichung besitzt.
> kann ich die Aufgabe mit Hilfe der Lagrang´schen
> Interpolationsformel lösen?
>
> ich habe die kubische Gleichung [mm]f(x)= x^3 +ax^2 +bx +c[/mm] mit
> den Lösungen [mm]x_1 , x_2 , x_3[/mm] (Polynom 3. Graden hat
> höchstens 3 Nullstellen in [mm]\IR[/mm] )
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") - außer dass der Genitiv von "Grad" nicht Graden lautet, sondern Grades.
> und suche ein Polynom 3. Graden mit der Eigenschaft [mm]P_3 (x_i ^2 ) =0[/mm]
> für [mm]i= 1,2,3[/mm]
>
> also brauche ich noch eine Hilfsfunktion [mm]h(z)[/mm] mit [mm]h(x_i ^2) =0[/mm]
> für [mm]i=1,2,3[/mm]
> eine solche Funktion wäre
> [mm]h(x) = (x_1 ^2 - x^2)(x_2 ^2 - x^2)(x_3 ^2 - x^2)[/mm]
Ich sehe nicht, wieso Du unbedingt eine Hilfsfunktion brauchst, aber egal. Die hier erfüllt Deine gesuchte Eigenschaft.
> dann ist
> [mm]P_3 (x) = \summe_{j=1}^{3} h(x_j) g_j (x)[/mm]
[mm] h(x_j)=0 [/mm] für alle j. [mm] \Rightarrow P_3(x)=0 [/mm] für alle x.
> mit [mm]g_j (x) = \produkt_{i=0, i \not= j}^{3}\bruch{x-x_i }{x_j -x_i }[/mm]
> und [mm]g_j (x_i ) = 0[/mm] für [mm]i \not= j[/mm] , [mm]g_j (x_j ) = 1[/mm]
> [mm]\forall j[/mm]
>
> ein Polynom 3. Grades, also eine kubische Gleichung, mit
> der gewünschten Eigenschaft.
Nein. Siehe oben.
Probiers mal anders:
[mm] f(x)=x^3+ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
[/mm]
Hieraus kannst Du ja Beziehungen zwischen [mm] a,b,c,x_1,x_2,x_3 [/mm] herleiten.
Gesucht ist nun
[mm] g(x)=(x-x_1^2)(x-x_2^2)(x-x_3^2)=x^3+Ax^2+Bx+C
[/mm]
Stelle A,B,C in Abhängigkeit von a,b,c dar.
Am einfachsten ist [mm] C=c^2.
[/mm]
Den Rest überlasse ich erstmal Dir.
Grüße
reverend
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