kubische Spline < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Di 12.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden Punkte:
(x1/y1)=1,0
(x2/y2)=1,1
(x3/y3)=4,-2
(x4/y4)=6,0
Bestimmen Sie zu diesen Punkten:
A) den quadratischen Spline mit f^(-1)=1
B) den natürlichen (kubischen) Spline
C) den periodischen (kubischen) Spline |
Hallo Forum,
ich habe mal wieder eine Aufgabe die ich nicht begreife. Von der Aufgabe habe ich die komplette Lösung (ist eine Übungsaufgabe).
Die Lösungen sind:
A) [mm] s_1(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <= -1 \\ \bruch{1}{2}x + \bruch{3}{4} + \bruch{1}{4}x^2 , & \mbox{für } -1 < x <= -1 \\ \bruch{2}{3}x - \bruch{1}{3}x^2 \bruch{2}{3}x , & \mbox{für } 1
B) [mm] s_1(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <= -1 \\ \bruch{11}{13} + \bruch{8}{13}x + \bruch{3}{26}x^3 -\bruch{9}{26}x^2, & \mbox{für } -1 < x <= -1 \\ \bruch{22}{39} + \bruch{19}{13}x - \bruch{31}{26}x^2 + \bruch{1}{6}x^3 , & \mbox{für } 1
C) [mm] s_1(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <= -1 \\ \bruch{253}{248} + \bruch{133}{248}x - \bruch{129}{248}x^2 - \bruch{9}{248}x^3 , & \mbox{für } -1 < x <= -1 \\ \bruch{76}{93} + \bruch{71}{62}x - \bruch{35}{31}x^2 + \bruch{1}{6}x^3, & \mbox{für } 1
Glücklicherweise ist bei diesen Lösungen in meinem Heft nichts zum Weg angegeben. Nun habe ich mal wieder Google bemüht, und dabei die Seite
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
mit der Formel
[mm] a_{i-1}(x_i-x_i-1)³ [/mm] + [mm] b_{i-1}(x_i-x_i-1)² [/mm] + [mm] c_{i-1}(x_i-x_i-1) [/mm] + [mm] d_{i-1} [/mm] = [mm] d_i [/mm] (I) gefunden. Nun habe ich mir zwar x-mal die Lösung durchgelesen, steige aber einfach nicht dahinter wieso ich nun 16 unbekannt finden muss und vor allen Dingen wie ich auf die Lösung komme...
Vielleicht kennt sich einer mit sowas aus...
Gruß
Jack2k
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Hallo Jack2k,
> Gegeben seien die folgenden Punkte:
> (x1/y1)=1,0 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich vermute sehr, dass da x1 = -1 (und nicht x1 = 1) gemeint war !
> (x2/y2)=1,1
> (x3/y3)=4,-2
> (x4/y4)=6,0
>
> Bestimmen Sie zu diesen Punkten:
> A) den quadratischen Spline mit f^(-1)=1
Was soll hier mit f^(-1) gemeint sein ?
> B) den natürlichen (kubischen) Spline
> C) den periodischen (kubischen) Spline
In welchem Sinne ist hier "periodisch" gemeint ?
Meine Vermutung: Indem man (weil schon f(-1)=f(6)=0 ist)
noch die Randbedingungen f'(-1)=f'(6) und
f''(-1)=f''(6) dazu nimmt, erhält man eine periodische,
zweimal stetig differenzierbare Funktion, wenn man sie
vom Grundintervall [-1,6] aus periodisch erweitert.
Ist diese Vermutung richtig ?
> Hallo Forum,
>
> ich habe mal wieder eine Aufgabe die ich nicht begreife.
> Von der Aufgabe habe ich die komplette Lösung (ist eine
> Übungsaufgabe).
>
> Die Lösungen sind:
>
> A) [mm]s_1(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <= -1 \\ \bruch{1}{2}x + \bruch{3}{4} + \bruch{1}{4}x^2 , & \mbox{für } -1 < x <= -1 \\ \bruch{2}{3}x - \bruch{1}{3}x^2 \bruch{2}{3}x , & \mbox{für } 1
>
> B) [mm]s_1(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <= -1 \\ \bruch{11}{13} + \bruch{8}{13}x + \bruch{3}{26}x^3 -\bruch{9}{26}x^2, & \mbox{für } -1 < x <= -1 \\ \bruch{22}{39} + \bruch{19}{13}x - \bruch{31}{26}x^2 + \bruch{1}{6}x^3 , & \mbox{für } 1
>
> C) [mm]s_1(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <= -1 \\ \bruch{253}{248} + \bruch{133}{248}x - \bruch{129}{248}x^2 - \bruch{9}{248}x^3 , & \mbox{für } -1 < x <= -1 \\ \bruch{76}{93} + \bruch{71}{62}x - \bruch{35}{31}x^2 + \bruch{1}{6}x^3, & \mbox{für } 1
>
> Glücklicherweise ist bei diesen Lösungen in meinem Heft
> nichts zum Weg angegeben. Nun habe ich mal wieder Google
> bemüht, und dabei die Seite
>
> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
>
> mit der Formel
>
> ai-1(xi-xi-1)³ + bi-1(xi-xi-1)² + ci-1(xi-xi-1) + di-1 = di (I)
Das sollte man mittels Formeleditor so schreiben,
dass klar wird, welches genau die Indices sind und
dass die Exponenten sichtbar bleiben.
> gefunden. Nun habe ich mir zwar x-mal die
> Lösung durchgelesen, steige aber einfach nicht dahinter
> wieso ich nun 16 unbekannt finden muss
Da wir 3 Teilintervalle haben und über jedem davon
eine kubische Funktion (mit 4 Parametern), ergeben
sich [mm] 3\times{4} [/mm] = 12 Unbekannte (also nicht 16).
Können wir zunächst die obigen Fragen klären vor
den eigentlichen Rechnungen ?
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Di 12.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
Hallo Al-Chwarizmi,
also du hast recht, das x1/y1 = -1/0 (das Minus hat gefehlt)
und das mit F^(-1)=1 sollte eigentlich f'(-1)=1 heißen.
Gruß
Jack2k
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> das mit f^(-1)=1 sollte eigentlich f'(-1)=1 heißen.
Die angegebene Lösung mit $\ f(x)\ =\ [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}x^2$
[/mm]
(für [mm] -1\le{x}\le [/mm] 1) erfüllt allerdings diese Bedingung nicht,
und erst recht nicht, wenn noch f(x)=0 für x<-1 sein
soll ...
Auch die Bedingung f(-1) = 0 wird durch die angegebene
Lösung nicht erfüllt.
Ich denke also, dass entweder in der Aufgabenstellung
und/oder in den Lösungen noch weitere Fehler stecken.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Di 12.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für deine schnellen Antworten. Aber dort ist auch noch ein Fehler von mir enthalten.
Habe ich in der Hauptfrage (dem ersten Eintrag) schon geändert.
Es müsste jeweils -1<x<=1 heißen und nicht -1< x <=-1
Gruß
Jack2k
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Hallo Jack,
ich habe jetzt in einer halben Stunde Detektivarbeit
herausgefunden, wie die Aufgabe wahrscheinlich lauten
sollte.
Als Lösung für das erste Polynom des quadratischen
Splines hast du angegeben:
[mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}x^2
[/mm]
Richtig wäre aber:
[mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x^2 [/mm]
Analoge Fehler gibt es in den Lösungen noch mehr.
Und der allererste Fehler war ja schon in der Angabe
der Stützpunkte.
Indem du fehlerhafte Angaben machst (und wenn
es sich "nur" um Vorzeichenfehler handelt), machst
du uns die Arbeit, dir zu helfen, erheblich schwerer
als nötig.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Di 12.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für das suchen, aber da war ich (ausnahmsweise) unschuldig. Das ist definitiv die Lösung die bei mir im Heft steht.
Aber ich hab noch weitere Fehler (diesmal leider wieder von mir) gefunden, kann die aber nicht ändern, da du die Aufgabe zur Bearbeitung gesperrt hast.
Ich änder die später wieder ab, wenn du die Aufgabe wieder freigegeben hast.
Gruß
Jack2k
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> vielen Dank für das suchen, aber da war ich
> (ausnahmsweise) unschuldig. Das ist definitiv die Lösung
> die bei mir im Heft steht.
... und wer hat denn die Lösung da hineingeschrieben ?
> Aber ich hab noch weitere Fehler (diesmal leider wieder von
> mir) gefunden, kann die aber nicht ändern, da du die
> Aufgabe zur Bearbeitung gesperrt hast. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Ich habe doch überhaupt nichts gesperrt ... !
> Ich änder die später wieder ab, wenn du die Aufgabe
> wieder freigegeben hast.
>
> Gruß
> Jack2k
>
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Hallo Jack,
Um einen kubischen Spline für (hier) 4 Stützpunkte,
also 3 Teilintervalle zu erstellen, muss man auf jedem
Teilintervall eine kubische Funktion [mm] S_i [/mm] definieren.
Dabei läuft der Index i von 0 bis und mit 2.
Das Definitionsintervall für die Funktion [mm] S_i [/mm] geht
dabei von [mm] x_i [/mm] bis [mm] x_{i+1}. [/mm] Die kubische Funktion
[mm] S_i [/mm] könnte man als Polynom der globalen Variablen x
schreiben, aber bei Brünner wird sie durch die Hilfs-
variable [mm] (x-x_i) [/mm] geschrieben, also:
$\ [mm] S_i(x)\ [/mm] =\ [mm] a_i*(x-x_i)^3+ b_i*(x-x_i)^2+ c_i*(x-x_i)+ d_i$
[/mm]
Für die insgesamt 3*4=12 Unbekannten ergeben sich
nun folgende Gleichungen:
für jedes i (von i=0 bis und mit 2) muss gelten:
1.) [mm] S_i(x_i) [/mm] = [mm] d_i [/mm] = vorgegebener y-Wert [mm] y_i
[/mm]
2.) [mm] S_i(x_{i+1}) [/mm] = [mm] d_{i+1} [/mm] = vorgegebener y-Wert [mm] y_{i+1}
[/mm]
(dies war wohl die von dir gemeinte Gleichung)
Weitere Gleichungen ergeben sich daraus, dass die
Werte der ersten und zweiten Ableitung an den 2 Nahtstellen
übereinstimmen sollen.
3.) $\ [mm] S'_{i-1}(x_i)\ [/mm] =\ [mm] S'_{i}(x_i)$ [/mm] (für i=1 und i=2)
4.) $\ [mm] S''_{i-1}(x_i)\ [/mm] =\ [mm] S''_{i}(x_i)$ [/mm] (für i=1 und i=2)
Für die (in unserem Beispiel mit n=3 Teilintervallen)
insgesamt 12 Unbekannten ergeben sich damit erst
mal 10 Gleichungen. Es fehlen noch 2 zusätzliche,
um den Spline eindeutig festzulegen.
Für den "natürlichen" Spline fordert man nun noch, dass
die 2. Ableitung am Anfang und am Ende des (gesamten)
Definitionsbereiches verschwinden soll, also in unserem
Beispiel:
$\ [mm] S_0''(x_0)\ [/mm] =\ [mm] S_0''(-1)\ [/mm] =\ 0$
$\ [mm] S_2''(x_3)\ [/mm] =\ [mm] S_2''(6)\ [/mm] =\ 0$
Damit liegen dann 12 Gleichungen für die 12 Unbe-
kannten vor, und das entstehende Gleichungssystem
ist eindeutig lösbar.
LG Al-Chw.
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