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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe 1 | Es sei [mm] $S_{\Delta}^3$ [/mm] der Raum aller kubischen Splinefunktionen mit natürlichen Randbedingungenzu den Stützstellen [mm] $x_0 [/mm] = 0, [mm] ~x_1 [/mm] = 1 $ und [mm] $x_2 [/mm] = 2$.
Welche der folgenden Funktionen sind aus [mm] $S_{\Delta}^3$?
[/mm]
a) $f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2$
[/mm]
b) $f(x) = [mm] x^2(x [/mm] - 6) - (x - [mm] 2)^3$
[/mm]
c) $f(x) = [mm] \max \lbrace [/mm] 0; (x - [mm] 1)^3\rbrace [/mm] - [mm] \frac12 x^3$
[/mm]
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| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie den interpolierenden Spline [mm] $s_2 \in S^3_{\Delta}$ [/mm] zu $f(x) = [mm] x^3$. [/mm] Wie lautet das Ergebnis, wenn die natürlichen Randbedingungen durch [mm] $s''_2(x_0) [/mm] = [mm] f''(x_0), s''_2(x_2) =f''(x_2)$ [/mm] ersetzt werden? |
Hallo,
ich hab keinen Plan von Splineinterpolation, wär super wenn mir das mal jemand erklären könnte 
Danke, lg
Ole
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> ich hab keinen Plan von Splineinterpolation, wär super wenn
> mir das mal jemand erklären könnte
Hallo,
solche Fragen mit "keinen Plan" finde ich immer schwierig, denn man kann gar nicht erkennen, warum der Plan fehlt, ob es nur Details sind - oder ob derjenige sich nie mit dem Theam beschäftigt hat.
Zunächst in aller Kürze zum Ziel der Spline-Interpolation:
Man will auf den durch die Stützstellen vorgegebenen Intervallen jeweils kubische Funktionen finden, die glatt aneinanderpassen und natürlich durch die Stützstellen gehen.
Genauer:
Du hast n+1 Stützstellen $ [mm] (x_i, y_i), [/mm] $ i=0,...,n, die $ [mm] x_i [/mm] $ aufsteigend geordnet, welche Dir $ [mm] [x_0, x_n] [/mm] $ in n Teilintervalle $ [mm] I_n [/mm] $ einteilen.
Durch diese Stützstellen will man eine glatte, stückweise def. Funktion legen, die auf den Teilintervallen jeweils ein Polynom v. Grad 3 ist.
Nun wird also eine stückweise definierte Funktion gesucht mit folgenden Eigenschaften:
1. Auf jeden dieser Intervalle $ [mm] I_i [/mm] $ ist die Teilfunktion $ [mm] f_i [/mm] $ ein Polynom v. Grad 3
2. Die Teilfunktionen haben Anfangs- und Endpunkt in den Stützstellen, sie stoßen an den Intervallenden zusammen, es ist also $ [mm] f_{i-1}(x_i)= f_i(x_i)=y_i [/mm] $
3. Die Tangenten an den Nahtstellen sind gleich: $ [mm] f'_{i-1}(x_i)= f'_i(x_i) [/mm] $
4. Die Krümmungen an den Nahtstellen sind gleich: $ [mm] f''_{i-1}(x_i)= f''_i(x_i) [/mm] $
5. Randbedingungen: wenn nichts anderes vorgegeben ist, natürliche Rb, $ [mm] f''_1(x_0)=f''_n(x_n)=0. [/mm] $
Diese Bedingungen liefern Dir ein Gleichungssystem, welches zu lösen ist.
Ich hoffe, daß Du mit diesen Erklärungen handlungsfähig wirst.
Gruß v. Angela
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