matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Sonstigeskubische Splines
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Sonstiges" - kubische Splines
kubische Splines < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

kubische Splines: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:42 Mi 26.09.2018
Autor: sancho1980

Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem mit meinem Buch. Es werden dort kubische Splines erklärt, also Polynome vom Grad 3. Jedes Polynom [mm] P_j [/mm] soll gelten in den Grenzen von [mm] (x_j, y_j) [/mm] und [mm] (x_{j+1}, y_{j+1}). [/mm] Dann heißt es lapidar:

"Deshalb machen wir den Ansatz

[mm] P_j(x) [/mm] = [mm] y_j [/mm] + [mm] k_j(x [/mm] - [mm] x_j) [/mm] + [mm] a_j(x [/mm] - [mm] x_j)(x [/mm] - [mm] x_{j+1})^2 [/mm] + [mm] b_j(x [/mm] - [mm] x_j)^2(x [/mm] - [mm] x_{j+1}) [/mm]

Wählen wir

[mm] k_j [/mm] = [mm] \bruch{y_{j+1} - y_{j}}{x_{j+1} - x_{j}} [/mm]

so sind auf jeden Fall einmal die Werte an den Rändern richtig."


Das mit [mm] k_j [/mm] und den Werten an den Rändern leuchtet mir ein. Was ich nicht verstehe: Warum reicht es nicht aus, den Ansatz

[mm] P_j(x) [/mm] = [mm] y_j [/mm] + [mm] k_j(x [/mm] - [mm] x_j) [/mm] + [mm] a_j(x [/mm] - [mm] x_j)(x [/mm] - [mm] x_{j+1})^2 [/mm]

bzw.



[mm] P_j(x) [/mm] = [mm] y_j [/mm] + [mm] k_j(x [/mm] - [mm] x_j) [/mm] + [mm] a_j(x [/mm] - [mm] x_j)^2(x [/mm] - [mm] x_{j+1}) [/mm]

zu gehen. Auch hier ist doch sichergestellt, dass es sich um ein Polynom vom Grad 3 handelt?

        
Bezug
kubische Splines: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:50 Do 27.09.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe ein Verständnisproblem mit meinem Buch. Es werden
> dort kubische Splines erklärt, also Polynome vom Grad 3.
> Jedes Polynom [mm]P_j[/mm] soll gelten in den Grenzen von [mm](x_j, y_j)[/mm]
> und [mm](x_{j+1}, y_{j+1}).[/mm] Dann heißt es lapidar:
>  
> "Deshalb machen wir den Ansatz
>  
> [mm]P_j(x)[/mm] = [mm]y_j[/mm] + [mm]k_j(x[/mm] - [mm]x_j)[/mm] + [mm]a_j(x[/mm] - [mm]x_j)(x[/mm] - [mm]x_{j+1})^2[/mm] +
> [mm]b_j(x[/mm] - [mm]x_j)^2(x[/mm] - [mm]x_{j+1})[/mm]
>  
> Wählen wir
>  
> [mm]k_j[/mm] = [mm]\bruch{y_{j+1} - y_{j}}{x_{j+1} - x_{j}}[/mm]
>  
> so sind auf jeden Fall einmal die Werte an den Rändern
> richtig."
>  
>
> Das mit [mm]k_j[/mm] und den Werten an den Rändern leuchtet mir
> ein. Was ich nicht verstehe: Warum reicht es nicht aus, den
> Ansatz
>  
> [mm]P_j(x)[/mm] = [mm]y_j[/mm] + [mm]k_j(x[/mm] - [mm]x_j)[/mm] + [mm]a_j(x[/mm] - [mm]x_j)(x[/mm] - [mm]x_{j+1})^2[/mm]
>  
> bzw.
>  
>
>
> [mm]P_j(x)[/mm] = [mm]y_j[/mm] + [mm]k_j(x[/mm] - [mm]x_j)[/mm] + [mm]a_j(x[/mm] - [mm]x_j)^2(x[/mm] - [mm]x_{j+1})[/mm]
>  
> zu gehen. Auch hier ist doch sichergestellt, dass es sich
> um ein Polynom vom Grad 3 handelt?

Das alleine reicht nicht !

Es müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

(1) [mm] P_j(x_j)=y_j, P_j(x_{j+1})=y_{j+1} [/mm] für j=0,...,n-1;

(2) [mm] P_j'(x_{j+1})=P_{j+1}'(x_{j+1}) [/mm]  für j=0,...,n-2

und

(3) [mm] P_j''(x_{j+1})=P_{j+1}''(x_{j+1}) [/mm]  für j=0,...,n-2.

Bei Deinen Ansätzen ist zwar (1) erfüllt, die Eigenschaften (2) und (3) aber nicht. Rechne es nach !




Bezug
                
Bezug
kubische Splines: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:41 So 30.09.2018
Autor: sancho1980

Ok, soweit so gut. Was dann folgt, ist mir leider auch nicht so ganz klar. Ich muss jetzt wieder ein bisschen zitieren, und erkläre am Schluss wieder, was mir unklar ist. Es geht also nach dem bereits Zitierten weiter mit:

"Für die erste Ableitung kann man nachrechnen, dass

[mm] P_j'(x_j) [/mm] = [mm] k_j [/mm] + [mm] a_j(x_j [/mm] - [mm] x_{j+1})^2, [/mm]
[mm] P_j'(x_{j+1}) [/mm] = [mm] k_j [/mm] + [mm] b_j(x_{j+1} [/mm] - [mm] x_j)^2 [/mm]

gilt und für die zweite

[mm] P_j''(x_j) [/mm] = [mm] 2(2a_j [/mm] + [mm] b_j)(x_j [/mm] - [mm] x_{j+1}), [/mm]
[mm] P_j''(x_{j+1}) [/mm] = [mm] 2(a_j [/mm] + [mm] 2b_j)(x_{j+1} [/mm] - [mm] x_j). [/mm]

Bezeichnen wir die Ableitung am Stützpunkt [mm] x_j [/mm] mit [mm] z_j, [/mm] so folgt aus der Bedingung, dass die ersten Ableitungen benachbarter Polynome übereinstimmen sollen,

[mm] P_j'(x_j) [/mm] = [mm] z_j, P_j'(x_{j+1}) [/mm] = [mm] P_{j+1}(x_{j+1}) [/mm] = [mm] z_{j+1}, [/mm]

sofort

[mm] a_j [/mm] = [mm] \bruch{z_j - k_j}{(x_{j+1} - x_j)^2} [/mm] und [mm] b_j [/mm] = [mm] \bruch{z_{j+1} - k}{(x_{j+1} - x_j)^2}. [/mm]

Aus der Bedingung, dass auch die zweiten Ableitungen zusammenpassen müssen,

[mm] P_j''(x_{j+1}) [/mm] = [mm] P_{j+1}''(x_{j+1}), [/mm]

erhält man

[mm] \Delta_{j+1}z_j [/mm] + [mm] 2(\Delta_j [/mm] + [mm] \Delta_{j+1})z_{j+1} [/mm] + [mm] \Delta_jz_{j+2} [/mm] = [mm] 3(k_j\Delta_{j+1} [/mm] + [mm] k_{j+1}\Delta_j), \Delta_j [/mm] = [mm] x_{j+1} [/mm] - [mm] x_j, [/mm]

also eine inhomogene lineare Rekursion zweiter Ordnung für die Ableitungen [mm] z_j [/mm] an den Stützstellen."

Ich kann leider keinen Rechnenweg finden, um auf die letzte Gleichung mit den vielen [mm] \Delta [/mm] zu kommen. Kann mir das jemand vielleicht mit ein paar mehr Zwischenschritten erklären?

Bezug
                        
Bezug
kubische Splines: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:09 Di 02.10.2018
Autor: meili

Hallo sancho1980,

> Ok, soweit so gut. Was dann folgt, ist mir leider auch
> nicht so ganz klar. Ich muss jetzt wieder ein bisschen
> zitieren, und erkläre am Schluss wieder, was mir unklar
> ist. Es geht also nach dem bereits Zitierten weiter mit:
>  
> "Für die erste Ableitung kann man nachrechnen, dass
>  
> [mm]P_j'(x_j)[/mm] = [mm]k_j[/mm] + [mm]a_j(x_j[/mm] - [mm]x_{j+1})^2,[/mm]
>  [mm]P_j'(x_{j+1})[/mm] = [mm]k_j[/mm] + [mm]b_j(x_{j+1}[/mm] - [mm]x_j)^2[/mm]
>  
> gilt und für die zweite
>  
> [mm]P_j''(x_j)[/mm] = [mm]2(2a_j[/mm] + [mm]b_j)(x_j[/mm] - [mm]x_{j+1}),[/mm]
>  [mm]P_j''(x_{j+1})[/mm] = [mm]2(a_j[/mm] + [mm]2b_j)(x_{j+1}[/mm] - [mm]x_j).[/mm]
>  
> Bezeichnen wir die Ableitung am Stützpunkt [mm]x_j[/mm] mit [mm]z_j,[/mm] so
> folgt aus der Bedingung, dass die ersten Ableitungen
> benachbarter Polynome übereinstimmen sollen,
>  
> [mm]P_j'(x_j)[/mm] = [mm]z_j, P_j'(x_{j+1})[/mm] = [mm]P_{j+1}(x_{j+1})[/mm] =
> [mm]z_{j+1},[/mm]
>  
> sofort
>  
> [mm]a_j[/mm] = [mm]\bruch{z_j - k_j}{(x_{j+1} - x_j)^2}[/mm] und [mm]b_j[/mm] =
> [mm]\bruch{z_{j+1} - k}{(x_{j+1} - x_j)^2}.[/mm]
>  
> Aus der Bedingung, dass auch die zweiten Ableitungen
> zusammenpassen müssen,
>  
> [mm]P_j''(x_{j+1})[/mm] = [mm]P_{j+1}''(x_{j+1}),[/mm]
>  
> erhält man
>  
> [mm]\Delta_{j+1}z_j[/mm] + [mm]2(\Delta_j[/mm] + [mm]\Delta_{j+1})z_{j+1}[/mm] +
> [mm]\Delta_jz_{j+2}[/mm] = [mm]3(k_j\Delta_{j+1}[/mm] + [mm]k_{j+1}\Delta_j), \Delta_j[/mm]
> = [mm]x_{j+1}[/mm] - [mm]x_j,[/mm]
>  
> also eine inhomogene lineare Rekursion zweiter Ordnung für
> die Ableitungen [mm]z_j[/mm] an den Stützstellen."
>  
> Ich kann leider keinen Rechnenweg finden, um auf die letzte
> Gleichung mit den vielen [mm]\Delta[/mm] zu kommen. Kann mir das
> jemand vielleicht mit ein paar mehr Zwischenschritten
> erklären?

Ausgehend von [mm]P_j''(x_{j+1})[/mm] = [mm]P_{j+1}''(x_{j+1})[/mm]     oben stehende zweite Ableitungen einsetzen

[mm] $2(a_j+2b_j)(x_{j+1}-x_j) [/mm] = [mm] 2(2a_{j+1}+b_{j+1})(x_{j+1}-x_{j+2})$ [/mm]        für [mm] $a_j$, $b_j$, $a_{j+1}$, $b_{j+1})$ [/mm] obenstehenden Werte, berechnet aus Gleichheit der 1. Ableitung an den Stützstellen, einsetzen

[mm] $2\left(\bruch{z_j - k_j}{(x_{j+1} - x_j)^2}+2\bruch{z_{j+1} - k_j}{(x_{j+1} - x_j)^2}\right)(x_{j+1}-x_j) [/mm] = [mm] 2\left(2\bruch{z_{j+1} - k_{j+1}}{(x_{j+2} - x_{j+1})^2} +\bruch{z_{j+2} - k_{j+1}}{(x_{j+2} - x_{j+1})^2}\right)(x_{j+1}-x_{j+2})$ [/mm]      aus der letzten Klammer auf der rechten Seite -1 ausklammern, damit man kürzen kann,
                                                                                auch auf der linken Seite kürzen

[mm] $2\left(\bruch{z_j - k_j}{(x_{j+1} - x_j)}+2\bruch{z_{j+1} - k_j}{(x_{j+1} - x_j)}\right) [/mm] = [mm] -2\left(2\bruch{z_{j+1} - k_{j+1}}{(x_{j+2} - x_{j+1})} +\bruch{z_{j+2} - k_{j+1}}{(x_{j+2} - x_{j+1})}\right)$ [/mm]   bei gleichem Nenner zusammenfassen und Zähler ausmultiplizieren

[mm] $\bruch{2z_j+4z_{j+1}-6k_j}{x_{j+1}-x_j} [/mm] = [mm] \bruch{-4z_{j+1}-2z_{j+2}+6k_{j+1}}{x_{j+2}-x_{j+1}}$ [/mm]    Gleichung mit den Nennern multiplizieren und durch 2 teilen

[mm] $(z_j+2z_{j+1}-3k_j)(x_{j+2}-x_{j+1}) [/mm] = [mm] (-2z_{j+1}-z_{j+2}+3k_{j+1})(x_{j+1}-x_j)$ $x_{j+2}-x_{j+1} [/mm] = [mm] \Delta_{j+1}$ [/mm] und  [mm] $x_{j+1}-x_j [/mm] = [mm] \Delta_j$ [/mm] ersetzen

[mm] $(z_j+2z_{j+1}-3k_j) \Delta_{j+1} [/mm] = [mm] (-2z_{j+1}-z_{j+2}+3k_{j+1}) \Delta_j$ [/mm]      ausmultiplizieren und Terme mit z auf die linke Seite mit k auf die rechte Seite bringen

[mm] $\Delta_{j+1}z_j+2\Delta_{j+1}z_{j+1}+2\Delta_jz_{j+1}+\Delta_jz_{j+2} [/mm] = [mm] 3k_{k+1}\Delta_j+3k_j\Delta_{j+1}$ [/mm]       ausklammern

[mm] $\Delta_{j+1}z_j+2(\Delta_{j+1}+\Delta_j)z_{j+1}+\Delta_jz_{j+2} [/mm] = [mm] 3(k_{k+1}\Delta_j+k_j\Delta_{j+1})$ [/mm]

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
kubische Splines: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:16 Di 02.10.2018
Autor: sancho1980

Ich danke dir für die Mühe. Hmmm, -1 ausklammern!!!!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]