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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Do 23.11.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei a<0<b. Entscheiden Sie, ob die Funktion
f(x) [mm] =\begin{cases} x^3+x, & \mbox{für } a\le x \le0 \\ x^3-x, & \mbox{für } b\ge x \ge0 \end{cases} [/mm] |
HI,
hab ein paar fragen zu dieser aufgabe.
wir haben eine Spline-Fkt so definiert:
1. [mm] s|_{I_j} \in \Pi_m (m\ge1) [/mm] für alle j=1,...,n
2. s [mm] \in C^{m-1} [/mm] [a,b].
also muss ich für 2. zeigen, dass die links- und rechtsseitige ableitung die gleiche ist, oder?
d.h. [mm] lim_{x\rightarrow\ 0^-} \frac{x^3+x}{x} [/mm] =1 = [mm] lim_{x\rightarrow\ 0^+} \frac{x^3-x}{x}
[/mm]
und die 2.rechten und linken Abl. stimmen auch überein. Hab ich damit gezeigt, dass s [mm] \in C^{3} [/mm] [a,b]?
für die 1.eigenschaft muss man da noch etwas zeigen, vielleicht die Stetigkeit in Null oder ist das so klar?
viele grüße
riley
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> Es sei a<0<b. Entscheiden Sie, ob die Funktion
> f(x) [mm]=\begin{cases} x^3+x, & \mbox{für } a\le x \le0 \\ x^3-x, & \mbox{für } b\ge x \ge0 \end{cases}[/mm]
>
> HI,
> hab ein paar fragen zu dieser aufgabe.
Hallo,
und ich frage mich: was ist eigentlich die Aufgabe???
Weil ich aber so helle bin, reime ich mir aus der Überschrift zusammen, daß Du herausfinden sollst, ob das ein kubischer Spline ist. Richtig?
> wir haben eine Spline-Fkt so definiert:
> 1. [mm]s|_{I_j} \in \Pi_m (m\ge1)[/mm] für alle j=1,...,n
> 2. s [mm]\in C^{m-1}[/mm] [a,b].
Falls es, wie ich vermute, um kubische Splines geht, wäre also m=3...
>
> also muss ich für 2. zeigen, dass die links- und
> rechtsseitige ableitung die gleiche ist, oder?
2. sagt Dir, daß Du im Falle des kubischen Splines gucken mußt, ob die Funktion zweimal stetig differenzierbar ist.
> d.h. [mm]lim_{x\rightarrow\ 0^-} \frac{x^3+x}{x}[/mm] =1 =
> [mm]lim_{x\rightarrow\ 0^+} \frac{x^3-x}{x}[/mm]
Ich weiß nicht, was das soll: ich sehe da keine Ableitungen. (Und auch nicht, daß die Grenzwert gleich sind!)
> und die 2.rechten und linken Abl. stimmen auch überein. Hab
> ich damit gezeigt, dass s [mm]\in C^{3}[/mm] [a,b] ?
WENN das so wäre, und Du auch erwähnt hättest, daß s stetig ist, hättest Du gezeigt, daß s [mm] \in C^2([a,b])
[/mm]
> für die 1.eigenschaft muss man da noch etwas zeigen,
> vielleicht die Stetigkeit in Null oder ist das so klar?
Mit 1. hat die Stetigkeit in Null nichts zu tun.
Weißt Du überhaupt, was mit [mm] \Pi_m [/mm] gemeint ist???
(Die Kenntnis der verwendeten Symbole ist natürlich der erste Schritt zur Lösung einer Aufgabe.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Angela,
sorry, hab vergessen die aufgabenstellung ganz hinzuschreiben.
es soll natürlich heißen "...ob es ein kubischer spline ist" -wie du dir schon gedacht hast =)
hm, naja, ich dachte dass die kritische stelle im nullpunkt ist. und deshalb hab ich diesen grenzwert betrachtet:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
wieso sollen die grenzwerte nicht gleich sein? x ausklammern, kürzen und null einsetzen?
okay, dann muss ich das mit "stetig" aber auch noch zeigen, oder langt es das so festzustellen?
schon, [mm] \Pi_m [/mm] bezeichnet alle polys vom grad [mm] \le [/mm] m.
viele grüße
riley
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> hm, naja, ich dachte dass die kritische stelle im nullpunkt
> ist. und deshalb hab ich diesen grenzwert betrachtet:
Ja, natürlich ist die kritische Stelle der Nullpunkt, das stimmt.
Deshalb fiele mir folgendes ein zu betrachten
- [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}f(x) [/mm] von oben und unten
- [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}f'(x) [/mm] von oben und unten
- [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}f''(x) [/mm] von oben und unten
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> wieso
> sollen die grenzwerte nicht gleich sein? x ausklammern,
> kürzen und null einsetzen?
Zum einen rechentechnisch: mach es so, wie Du sagst - es kommt verschiedenes heraus...
Zum anderen denktechnisch: es ist nunmal nicht [mm] \frac{x^3+x}{x} [/mm] die Ableitung der Funktion. Du willst doch wissen, ob in 0 die Ableitung von rechts=der von links ist.
> okay, dann muss ich das mit "stetig" aber auch noch zeigen,
> oder langt es das so festzustellen?
Naja, das sieht man eigentlich sofort. Erwähnen muß man es aber. Wenn die Funktion in 0 nicht stetig wäre, könnte man sich ja jegliche Ableiterei sparen.
>
> schon, [mm]\Pi_m[/mm] bezeichnet alle polys vom grad [mm]\le[/mm] m.
Eben. Die Frage ist also, ob die Funktion auf den Teilintervallen jeweils ein kubisches Polynom ist. Das sieht man leicht, und es hat mit der von Dir in diesem Zusammenhang angedachten Frage nach der Stetigkeit in Null nichts zu tun.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Angela,
danke für deine Hilfe.
also für 1.) genügt es, dass die splines auf den beiden teilintervallen jeweils ein poly 3.grades sind.
und für 2.) hab ich die grenzwerte betrachtet.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}f(x) [/mm] = 0 von beiden seiten.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}f' [/mm] (x) = 1 von unten und -1 von oben. hab das minus glatt übersehen.
hab nicht gemeint, dass der bruch die ableitung ist, sondern
dass der grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \frac{x^3+x}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} (x^2 [/mm] + 1) =1 die linksseitige Ableitung bei x=0 ist. so kann man das doch sagen, oder?
ok, aber damit dass die beiden ersten ableitungen nicht übereinstimmen kann f(x) ja kein kubischer spline sein, ist das so richtig??
viele grüße
riley
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> also für 1.) genügt es, dass die splines auf den beiden
> teilintervallen jeweils ein poly 3.grades sind.
Ja.
>
> und für 2.) hab ich die grenzwerte betrachtet.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}f(x)[/mm] = 0 von beiden seiten.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}f'[/mm] (x) = 1 von unten und -1 von
> oben.
Ja.
> hab nicht gemeint, dass der bruch die ableitung ist,
> sondern
> dass der grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \frac{x^3+x}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} (x^2[/mm] + 1) =1 die linksseitige
> Ableitung bei x=0 ist. so kann man das doch sagen, oder?
Jetzt schnall' ich, was Du meintest! Hm, ich glaube tatsächlich, daß man das so sagen kann. Aber einen Vorteil gegenüber der "echten" Ableitung sehe ich nicht.
>
> ok, aber damit dass die beiden ersten ableitungen nicht
> übereinstimmen kann f(x) ja kein kubischer spline sein, ist
> das so richtig??
Ja. Wenn man sich das aufzeichnet, müßte man bei 0 eine häßliche Spitze haben. Splines sind glatt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Riley |
Vielen Dank für deine Erklärungen!
Gruß Riley
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