kurvenbestimmung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Di 24.11.2009 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Professor K. aus K. gewinnt in einem Preisausschreiben einen Kampfhund. Letzterer wird umgehend an die Leine der Länge a>0 gelegt. Der Hund befinde sich im Koordinatienursprung (0,0) und der Professor auf dem Punkt (a,0).
In einem Punkt (0,b), b>0 sitzt ein Kaninchen, das entlang der y-Achse vor dem Hund wegläuft.
Als der Kampfhund dies bemerkt, läuft er dem Kaninchen hinterher.
Bestimmen Sie die Kurve, auf welher Professor K. an der straffen Leine hinter dem Hund hergezogen wird.
Hinweis: Substitution z = [mm] \wurzel{a^{2}-x^{2}} [/mm] |
Hallo,
also zu der Aufgabe habe ich mir überlegt, dass die Kurve im Grunde doch so aussehen muss, wie der Graph von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für positive x, wobei die Kurve hier ja x berührt.
und das ich an jeden Punkt der Kurve eine Tangente legen kann, bei der [mm] a=\wurzel{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}} [/mm] und a gibt sie Strecke an , zwischen dem SP [mm] (x_{0}/0) [/mm] und [mm] (0/y_{0}).
[/mm]
Aber ab hier steh ich total aufm Schlauch wie ich an die Kurve komme, meine tolle argumentation wird da wohl kaum reichen^^
lieben gruß
cmueller
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Kurve ist ne Traktrix.
Mit Tangente hast du recht. du kennst also in jedem Punkt die Tangente. und ihre Länge bis zur y-Achse
Das ruft ja wohl nach ner Dgl.
es ist kein 1/x, denn es fängt ja bei (a,0) an
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 28.11.2009 | | Autor: | cmueller |
Hallo,
nachdem ich mich jetzt mit einer Traktrix auseinander gesetzt habe, stecke ich in einer Integration fest.
ich habe [mm] \integral_{a}^{b}{ dy}=\integral_{a}^{b}{\bruch{\wurzel{a^{2}-x^{2}}}{x} dx}
[/mm]
nach Hinweis mit substitution [mm] z=\wurzel{a^{2}-x^{2}} [/mm] käme ich auf [mm] \integral_{a}^{b}{ dy}=\integral_{a}^{b}{ dz},
[/mm]
also einfach auf [mm] y=\wurzel{a^{2}-x^{2}} [/mm]
aber das ist ja offensichtlich falsch.
ich habe im internet eine seite gefunden wo ein beispiel in dieser form ist, das arbeitet mit 2 oder 3 substitutionen und ich krieg es einfach nicht hin.
ich versuche es weiter, sehe aber inzwischen die richtige substitution vor lauter integration nicht mehr, ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen kann.
edit: ich habe es weiterversucht und komme auf
[mm] $y=a*ln(\bruch{a+\wurzel{a^{2}-x^{2}}}{x})-\wurzel{a^{2}-x^{2}}+C
[/mm]
kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
"problem" ist: ich hab den hinweis damit gar nicht verwendet, ich habe einmal substituiert mit [mm] x=\bruch{1}{t}
[/mm]
und dann war die integration (relativ) offensichtlich.
|
|
|
| |
|
Hallo cmueller,
da stimmt was nicht.
[mm] z=\wurzel{a^2-x^2}\ \Rightarrow \bruch{dz}{dx}=\bruch{-x}{\wurzel{a^2-x^2}}\ \Rightarrow dx=-\bruch{\wurzel{a^2-x^2}}{x}dz
[/mm]
Es fällt also keineswegs der Integrand weg, aber er wird handhabbarer, weil nur noch
[mm] -\int{\bruch{a^2-x^2}{x^2} dz}=-\int{\bruch{z^2}{a^2-z^2} dz} [/mm] zu lösen ist.
lg
reverend
|
|
|
|
