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kurvendiskussion: gebrochen rationale funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Mi 02.09.2009
Autor: itil

Aufgabe
y= [mm] \bruch{2*(3-x²)}{x²-4} [/mm]

mein rechengang:

y= [mm] \bruch{6-2x²)}{x²-4} [/mm]

1) Polstellen

x²-4 = 0
x² = 4
x = 2
_____________

2) Lücken

y= [mm] \bruch{6-8)}{4-4} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{0} [/mm]

_____________

3)Asymtoten: Z = N (x² =x²)

y = [mm] \bruch{-2}{1} [/mm]

_____________

4) Nullstellen
[mm] \bruch{6-2x²)}{x²-4} [/mm] = 0 / *x²-4
6-2x² = 0
-2x² = -6 / :-2
x² = 3 / [mm] \wurzel{} [/mm]
x = 1,732050808

____________

5) Extremwert f'(x) = 0            E(0|-1,5)

f(x) = [mm] \bruch{6-2x²)}{x²-4} [/mm] = 0 / *x²-4

f'(x) = [mm] \bruch{-4x*(x²-4) - (6-2x²)*2x}{(x²-4)²} [/mm]

f'(x) = [mm] \bruch{(-4x^3 + 16x) - (12x - 4x^3)}{(x²-4)²} [/mm]

f'(x) = [mm] \bruch{-4x^3 + 16x - 12x + 4x^3}{(x²-4)²} [/mm]

f'(x) = [mm] \bruch{ 16x - 12x}{(x²-4)²} [/mm]

f'(x) = [mm] \bruch{ 4x}{(x²-4)²} [/mm]

[mm] \bruch{ 4x}{(x²-4)²} [/mm] = 0   /* (x²-4)²

4x = 0
x = 0

Einsetzen: 6-0 / 0-4 = 6/-4 = -1,5

_________________________________

Wendepunkt F''(x) = 0

f'(x) = [mm] \bruch{ 4x}{(x²-4)²} [/mm]

f''(x) = [mm] \bruch{4*(x^2-4)² - (4x*2*(x^2-4)*2x}{(x²-4)^4} [/mm]

f''(x) = [mm] \bruch{4*(x^4-8x^2+16) - (8x(x^2-4)*2x}{(x²-4)^4} [/mm]

f''(x) = [mm] \bruch{(4x^4-32x^2+64) - (8x^3-32x)*2x}{(x²-4)^4} [/mm]

f''(x) = [mm] \bruch{(4x^4-32x^2+64) - (16x^4-64x²)}{(x²-4)^4} [/mm]

f''(x) = [mm] \bruch{12x^4 +32x^2+64}{(x²-4)^4} [/mm]

[mm] \bruch{12x^4 +32x^2+64}{(x²-4)^4} [/mm] = 0   /* [mm] (x²-4)^4 [/mm]

[mm] 12x^4 +32x^2+64 [/mm] = 0

keine reelle lösung

kein wendepunkt
keine wendetangente


        
Bezug
kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:42 Mi 02.09.2009
Autor: fencheltee


> y= [mm]\bruch{2*(3-x²)}{x²-4}[/mm]

du solltest dir langsam angewöhnen, eine potenz mit x^2 bzw. x^{1234} einzugeben, dass sollte das lesen doch hier gemütlicher machen!
>  mein rechengang:
>  
> y= [mm]\bruch{6-2x^2)}{x^2-4}[/mm]
>  
> 1) Polstellen
>  
> [mm] x^2-4 [/mm] = 0
>  [mm] x^2 [/mm] = 4
>  x = [mm] \red{\pm}2 [/mm]

hier fehlt die zweite lösung!
[mm] x^2=a \gdw x=\pm\sqrt{a} [/mm]
>  _____________
>  
> 2) Lücken
>  
> y= [mm]\bruch{6-8)}{4-4}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{0}[/mm]

was rechnest du hier?!
>  
> _____________
>  
> 3)Asymtoten: Z = N [mm] (x^2 =x^2) [/mm]

die gleichung verstehe ich nicht? du meinst sicherlich nur die koeffizienten der höchsten potenzen von zähler und nenner?
>  
> y = [mm]\bruch{-2}{1}[/mm]

[ok]
>  
> _____________
>  
> 4) Nullstellen
>  [mm]\bruch{6-2x^2}{x^2-4}[/mm] = 0 / [mm] *x^2-4 [/mm]
>  [mm] 6-2x^2 [/mm] = 0
>  [mm] -2x^2 [/mm] = -6 / :-2
>  [mm] x^2 [/mm] = 3 / [mm]\wurzel{}[/mm]
>  x = [mm] \red{\pm}\sqrt{3}=\pm [/mm] 1,732050808

hier solltest du [mm] \sqrt{3} [/mm] stehen lassen, du rechnest ja scheinbar eh mit dem taschenrechner ;-)
und wieder eine lösung weggeschmissen, weil die wurzel nicht sauber gezogen wurde.
>  
> ____________
>  
> 5) Extremwert f'(x) = 0            E(0|-1,5)
>  
> f(x) = [mm]\bruch{6-2x^2}{x^2-4}[/mm] = 0 / [mm] *x^2-4 [/mm]
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{-4x*(x^2-4) - (6-2x^2)*2x}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{(-4x^3 + 16x) - (12x - 4x^3)}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{-4x^3 + 16x - 12x + 4x^3}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{ 16x - 12x}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{ 4x}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{ 4x}{(x^2-4)^2}[/mm] = 0   /* [mm] (x^2-4)^2 [/mm]
>  
> 4x = 0
>  x = 0
>  
> Einsetzen: 6-0 / 0-4 = 6/-4 = -1,5

[ok]
>  
> _________________________________
>  
> Wendepunkt F''(x) = 0
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{ 4x}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  
> f''(x) = [mm]\bruch{4*(x^2-4)^2 - (4x*2*(x^2-4)*2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
>  
> f''(x) = [mm]\bruch{4*(x^4-8x^2+16) - (8x(x^2-4)*2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
>  
> f''(x) = [mm]\bruch{(4x^4-32x^2+64) - (8x^3-32x)*2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
>  
> f''(x) = [mm]\bruch{(4x^4-32x^2+64) - (16x^4-64x^2)}{(x^2-4)^4}[/mm]
>  
> f''(x) = [mm]\bruch{\red{-}12x^4 +32x^2+64}{(x^2-4)^4}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\red{-}12x^4 +32x^2+64}{(x^2-4)^4}[/mm] = 0   /* [mm](x^2-4)^4[/mm]
>  
> [mm]\red{-}12x^4 +32x^2+64[/mm] = 0
>  
> keine reelle lösung

diese gleichung hat zwar dann die reellen lösungen [mm] \pm [/mm] 2 aber das sind ja die def-lücken
>  
> kein wendepunkt
>  keine wendetangente,

[ok]
>  
>  

Bezug
                
Bezug
kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Mi 02.09.2009
Autor: itil

frage:

wie rechne ich die letzte gleichung (ohne reelle lösungen) - ich habs in den taschenrechner getipps er meinte nonreal.. aber so.. ohne newton.. und newtonsches nährungsverfahren = sehr mühsam.. :'-(
Bezug
                        
Bezug
kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Mi 02.09.2009
Autor: xPae

Hallo,

Durch Substitution kann diese Gleichung gelöst werden:

[mm] x^{2}=z [/mm]

[mm] =>-12z^{2}+32z+64=0 [/mm]

[mm] z^{2}-\bruch{8}{3}*z-\bruch{16}{3}=0 [/mm]

pq-Formel:

[mm] z_{1}=4 [/mm]
[mm] z_{2}=-\bruch{4}{3} [/mm]

Rücksubstitution ergibt     [nur x>0 sind hier definiert, deshalb ist [mm] z_{2} [/mm] keine Lösong, wenn [mm] x\varepsilon\IR^{+}] [/mm]

[mm] x=\wurzel{z} [/mm]
[mm] =>x_{1}=\pm2 [/mm]

lg xPae
Bezug
                                
Bezug
kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Mi 02.09.2009
Autor: itil

d.h. eigentlich brauche ich niemals newtonsches nährungsverfahren?? weils  immer mit substituieren gehen sollte?.. ich mein ja iwo wirds mans schon brauchen.. sonst gäbses nicht aber.. viel komplizierter wirds bei uns nicht.. das is cool
Bezug
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