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| Aufgabe | | geben sie den definitionsbereich und wertebereich von f(x) = [mm] \bruch{1-x^2}{1+x^2} [/mm] an und skizzieren sie den graphen. |
hallo,
also als erstes habe ich die symmetrie überprüft.
da f(-x)=f(x) ist, ist die funktion eine gerade funktion somit symmetrisch zur y achse.
da habe ich dann den punkt 0 eingesetzt und f(0)=1. somit habe ich schonmal den punkt wo der graph die y achse schneidet, welcher gleichzeitig der symmetrie punkt ist.
die nullstellen habe ich auch errechnet sind 1,-1. damit habe ich schon einige wichtige punkte zum zeichnen.
nun für den wertebereich wollte ich eine grenzwert betrachtung [mm] -\infty, \infty.
[/mm]
das ist nun nämlich der knackpunkt. meine vorgehensweise sagte mir ein kollege wäre nicht zulässig.
ich habe folgendes gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-x^2}{1+x^2} [/mm] regel von bernoulli
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-2x}{2x} [/mm] erneut bernoullie
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-2}{2}=-1.
[/mm]
das selbe ergibt sich für [mm] -\infty.
[/mm]
die ergebnisse sind richtig, allerdings denke ich selbst dass man das nicht machen darf weil so ja nirgends eine variable vorhanden ist wo man den wert gegen den man gehen will einsetzen kann. bei der vorgehensweise wäre der grenzwert ja immer -1.
aber wollte das halt nochmal kurz nachfragen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Di 13.09.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> geben sie den definitionsbereich und wertebereich von f(x)
> = [mm]\bruch{1-x^2}{1+x^2}[/mm] an und skizzieren sie den graphen.
> hallo,
>
> also als erstes habe ich die symmetrie überprüft.
>
> da f(-x)=f(x) ist, ist die funktion eine gerade funktion
> somit symmetrisch zur y achse.
> da habe ich dann den punkt 0 eingesetzt und f(0)=1. somit
> habe ich schonmal den punkt wo der graph die y achse
> schneidet, welcher gleichzeitig der symmetrie punkt ist.
>
> die nullstellen habe ich auch errechnet sind 1,-1. damit
> habe ich schon einige wichtige punkte zum zeichnen.
bis hierhin alles richtig.
>
> nun für den wertebereich wollte ich eine grenzwert
> betrachtung [mm]-\infty, \infty.[/mm]
>
> das ist nun nämlich der knackpunkt. meine vorgehensweise
> sagte mir ein kollege wäre nicht zulässig.
>
> ich habe folgendes gemacht:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1-x^2}{1+x^2}[/mm] regel
> von bernoulli
Das ist die Regel von de L'Hospital.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-2x}{2x}[/mm]
> erneut bernoullie
Einfaches Kürzen hätte es hier auch getan.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \{-2}{2}[/mm] =-1.
Der Grenzwert stimmt.
>
> das selbe ergibt sich für [mm]-\infty.[/mm]
>
> die ergebnisse sind richtig, allerdings denke ich selbst
> dass man das nicht machen darf weil so ja nirgends eine
> variable vorhanden ist wo man den wert gegen den man gehen
> will einsetzen kann. bei der vorgehensweise wäre der
> grenzwert ja immer -1.
Nein, nicht bei der Vorgehensweise, sondern bei dieser speziellen Funktion ist der GW immer -1. Wäre ja auch irgendwie seltsam, wenn bei anderer Vorgehensweise ein anderer GW rauskäme, oder?
> aber wollte das halt nochmal kurz nachfragen.
Soweit ich sehe, alles richtig.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Di 13.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für den Grenzwert gäbe es neben deiner völlig korrekten Lösung noch Alternativen:
Variante 1: x² ausklammern.
Also:
$ [mm] \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right)}{x^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}+1\right)}=\frac{\frac{1}{x^{2}}-1}{\frac{1}{x^{2}}+1} [/mm] $
Variante 2: Polynomdivision:
$ [mm] \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}=(1-x^{2}):(1+x^{2})=-1+\frac{2}{x^{2}+1} [/mm] $
Beide Verfahren führen auch recht offensichtlich zu dem Grenzwert.
Marius
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