kurvenverläufe bei x nullstell < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Di 21.11.2006 | | Autor: | Kisuna |
| Aufgabe | Begründe, dass jede Integralfunktion F(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] mindestens eine Nullstelle hat.
Unter welchen Bedingungen gibt es weitere Nullstellen?
Beschreibe grob mögliche Kurvenverläufe für [mm] G_f [/mm] bei denen F genau eine, zwei oder unendlich viele Nullstellen hat.
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Hi
hm, also mindestens eine Nullstelle, weil wenn man von a bis a integriert die fläche null rauskommt ^^ nur wie formuliert man sowas?
so, dass wars aber auch schon.
keine ahnung wie [mm] G_f [/mm] ausschauen muss, damit F eine, zwei, oder unendliche Nullstellen hat.
für unendliche wäre die antwort sinus bzw. cosinus funktion.. aber warum?
und was sind beispiele für eine, zwei nullstellen?
und unter welchen bedingugen gibt es denn überhaupt weitere Nullstellen?
liebe
Grüße
Kisu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0 [/mm] mehr brauchst du dazu nicht schreiben. wenn f(t) füt t>a immer dasselbe Vorzeichen hat: genau eine Nullstelle.
2, genau 2 Nst. wenn f(t) für t>a nur einmal das Vorzeichen wechselt, und danach noch beliebig groß bzw. klein wird. oder wenn Fläche unterhalb und oberhalb der x-Achse irgendwann gleich sind.
mit unendlich sin oder cos hast du recht, sie sind zu x=0 oder [mm] X\pi [/mm] punktsymetrisch, und haben unendlich viele Vorzeichenwechsel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Kisuna |
hm.. wie meinst du, wenn f(t) immer dass selbe vorzeichen hat?
zb. f(x) = x² ?
und bei, nur einmal des vorzeichen wechselt? wäre ja zb. f(x)= x³ ? aber da wäre keine fläche.. hmm
kannsu vllt. beispiele zu deinen ausführungen sagen?
thx
Kisu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hm.. wie meinst du, wenn f(t) immer dass selbe vorzeichen
> hat?
> zb. f(x) = x² ?
ja, egal, wo a liegt, das Integral ist immer pos. also nur die Nullstelle bei x=a
> und bei, nur einmal des vorzeichen wechselt? wäre ja zb.
> f(x)= x³ ? aber da wäre keine fläche.. hmm
ja, auch das ist richtig, wenn a negativ ist, z.Bsp -1, dann ist F(-1)=0 und
F(+1)=0, oder a=-17, F(-17)=0 Und F(17)=0 Wie gesagt der Vorzeichenwechsel muss bei t>a sein.
[mm] f(x)=(x-b)^3 (x^3 [/mm] um b nach rechts verschoben) a <b F(a)=0 und F(2b-a)=0 aufzeichnen, dann siehst dus.
Bei punktsymetrischen Kurven kann man immer von a zu dem Punkt+nochmal denselben Abstand integrieren und bekommt 0.
Gruss leduart
>
> thx
> Kisu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Kisuna |
> ja, egal, wo a liegt, das Integral ist immer pos. also nur die Nullstelle bei x=a
> und bei, nur einmal des vorzeichen wechselt? wäre ja zb.
> f(x)= x³ ? aber da wäre keine fläche.. hmm
> ja, auch das ist richtig, wenn a negativ ist, z.Bsp -1, dann ist F(-1)=0 und
> F(+1)=0, oder a=-17, F(-17)=0 Und F(17)=0 Wie gesagt der Vorzeichenwechsel muss bei t>a sein.
hmm, versteh ich nich ganz. bei f(x) = x³ , is doch dann F(-1) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und F(1) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
daraus folgt aber dann, dass F(x) = 0 ist, also ist da ne Nullstelle.
> Wie gesagt der Vorzeichenwechsel muss bei t>a sein.
hmm.. was heißt des? achso, des bedeutet doch dass f(x) die x-Achse zwischen a und t schneiden muss, oder?
> $ [mm] f(x)=(x-b)^3 (x^3 [/mm] $ um b nach rechts verschoben) a <b F(a)=0 und > F(2b-a)=0 aufzeichnen, dann siehst dus.
> Bei punktsymetrischen Kurven kann man immer von a zu dem Punkt+nochmal denselben Abstand integrieren und bekommt 0.
des heißt, wenn man frägt, wieviele Nullstellen eine fläche hat, dann überlegt man, von a bis wo man alles integrieren kann, um F(x) = 0 rauszubekommen.
aber nun bei 3 Nullstellen.. des wäre doch bei f(x) = x² - 3 , oder?
aber theoretisch könnte diese funktion auch nur 2 Nullstellen haben und zwar, wenn die erste positive fläche genau der negativen fläche entspricht, oder ?
danke
KIsu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kisuna
Dass du bei F immer von einer Fläche sprichst ist schlecht. Flächen sind immer was positives.
Wahrscheinlich wurde das Integral bei euch ursprünglich eingeführt um die Fläch unter einer Kurve, die im 1. Quadranten verläuft auszurechnen.
Aber ein Integral ist was allgemeineres, Der Grenzwert der Summe von Funktionswerten *xIntervallen, wenn die Intervalle beliebig klein werden.
Dann kann ich neue Funktionen herstellen indem ich von einer festen Stelle a bis zu einer beliebigen Stelle x dieses Integral bilde.
Dann kann das Integral positiv sein, wenn die positiven Summanden überwiegen, negativ, wenn die negativen überwiegen, und auch 0.
Veranschaulichen kann man das bei braven Funktionen, indem man sagt der "Flächeninhalt" oberhalb der x-Achse ist positiv, der unter der x- Achse ist negativ, wenn ich von a nach b integriere und b>a ist.
Dann ist der Flächeninhalt von a bis x also F(x) die Differenz der Inhalte über und unter der Achse, wenn die also gleich groß sind ist er Null. Und natürlich ist der Flächeninhalt von einem Strich auch Null.
Damit ist F(x)=0 abhängig davon, wo das a liegt.
Wenn es links von einem Vorzeichenwechsel liegt findet man ne Stelle x, so dass die Fläche bis x aus einem negativen und positiven Teil besteht, die gleich groß sind.
zur 2. Frage: [mm] f(x)=x^3 [/mm] a=-1
[mm] F(x)=\integral_{-1}^{x}{t^3dt}; F(-1)=\integral_{-1}^{-1}{t^3dt} [/mm] =0
und [mm] F(1)=\integral_{-1}^{1}{t^3dt} [/mm] =0 also 2 Nullstellen.
Du musst bei dem F(x) immer auf das a achten, du hast als du F(1)=1/4 ausgerechnet hast a=0 benutzt.
mit [mm] f(x)=x^2-3 [/mm] hast du recht, wenn du a nahe an die linke Nullstelle legst.aber davor. etwa bei a=-wurzel{3}-0,1 dann hast du 2 Nullstellen. Wenn du a weiter nach links schiebst hast du irgendwann nur noch eine ausser der bei x=a und noch weiter links keine mehr. weiter rechts als die linke Nullstelle also mit [mm] a>-\wurzel [/mm] 3 hast du nur noch eine Nullstelle zusätzlich.
Mach einfach mal ein paar Skizzen, und ändere in Gedanken den "Startpunkt" a des Integrals. vielleicht wäre es besser die Funktion [mm] F_a(x) [/mm] zu nennen, damit man immer dran denkt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Do 23.11.2006 | | Autor: | Kisuna |
vielen vielen dank für deine ausfürliche erläuterung :)
> Dass du bei F immer von einer Fläche sprichst ist schlecht. Flächen sind immer was positives.
hmm, bei uns gibts sowohl positive als auch negative flächen, bzw. wir bezeichnen die flächen im 3/4 quadranten als negative fläche
nochmals danke! hast mir voll weitergeholfen :)
liebe grüße
Kisu
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