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kurze Dgl: Idee ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Mo 17.01.2011
Autor: MrMojo

Aufgabe 1
Lösen sie die Dgl

y' = x - (y/x)

Aufgabe 2
y' = 2xy - [mm] 3x^3 [/mm]        y(0) = 3/2

Aufgabe 3
y' = -x/y

ad Aufgabe 1)

ich habe wirklich alles mögliche versucht um diese Aufgabe zu lösen,
meine erste Frage ist, kann ich bei dieser Aufgabe x=0 setzen da es ein Störfaktor ist ? oder geht das nicht ?

Ansonsten wär das naheliegendste meiner Meinung nach Substitution

y' = x - (y/x)                    y/x = z;  y' = z+xz'

z+ xz' = x - z
z' = (1-2z)/x              
Stimmt dieser Ansatz überhaupt ? Weil nach gefühlten 500 hundert mal rechnen komme ich immer noch nicht auf das gleiche Ergebnis wie WolframAlpha, wie weit kann ich mich überhaupt auf Wolfram verlassen ?

ad 2) y' = 2xy - 3x ^3
        y' = [mm] x(2y-3x^2) [/mm]
        [mm] y'/(2y-3x^2) [/mm] = x
      soll ich an der Stelle substituieren ?
u = 2y - [mm] 3x^2 [/mm]
du = 2 y' - 6x
y' = u'/2 + 3x

(u'/2 + 3x)/u = x

(u'+6x)/2u = x  ==> wie muss ich fortfahren und Hilfe beim Punkt y(0) = 3/2


ad 3) y' = - x/y
      
Hilfe bei den Lösungsansätzen, ich dachte wieder an Substitution
y/x = u;  y' x + xu'
x + xu' = -u^-1
xu' = -u^-1 -x
u' = -u^-1  /x    -1
Stimmt meine Substitution ? wie soll ich nun integrieren ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
kurze Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mo 17.01.2011
Autor: MathePower

Hallo MrMojo,


[willkommenmr]


> Lösen sie die Dgl
>  
> y' = x - (y/x)
>  y' = 2xy - [mm]3x^3[/mm]        y(0) = 3/2
>  y' = -x/y
>  ad Aufgabe 1)
>  
> ich habe wirklich alles mögliche versucht um diese Aufgabe
> zu lösen,
> meine erste Frage ist, kann ich bei dieser Aufgabe x=0
> setzen da es ein Störfaktor ist ? oder geht das nicht ?


Du kannst zunächst die homogene DGL

[mm]y' +\bruch{y}{x}=0[/mm]

lösen, bevor Du dann die partikuläre Lösung der DGL

[mm]y' +\bruch{y}{x}=x[/mm]

durch []Variation der Konstanten bestimmst.


>  
> Ansonsten wär das naheliegendste meiner Meinung nach
> Substitution
>  
> y' = x - (y/x)                    y/x = z;  y' = z+xz'
>  
> z+ xz' = x - z
>  z' = (1-2z)/x              


Selbes Spiel wie oben.

Zuerst die homogene DGL lösen und
dann die partikuläre Lösung bestimmen.


> Stimmt dieser Ansatz überhaupt ? Weil nach gefühlten 500
> hundert mal rechnen komme ich immer noch nicht auf das
> gleiche Ergebnis wie WolframAlpha, wie weit kann ich mich
> überhaupt auf Wolfram verlassen ?
>  
> ad 2) y' = 2xy - 3x ^3
>          y' = [mm]x(2y-3x^2)[/mm]
>          [mm]y'/(2y-3x^2)[/mm] = x
>        soll ich an der Stelle substituieren ?
>  u = 2y - [mm]3x^2[/mm]
>  du = 2 y' - 6x
>  y' = u'/2 + 3x
>  
> (u'/2 + 3x)/u = x
>  
> (u'+6x)/2u = x  ==> wie muss ich fortfahren und Hilfe beim


Siehe Aufgabe 1)


> Punkt y(0) = 3/2
>  
>
> ad 3) y' = - x/y
>        
> Hilfe bei den Lösungsansätzen, ich dachte wieder an
> Substitution
>  y/x = u;  y' x + xu'
>  x + xu' = -u^-1


Hier muss es doch heißen:

[mm]\red{u}+x*u'=-\bruch{1}{u}[/mm]


>  xu' = -u^-1 -x
>  u' = -u^-1  /x    -1
>  Stimmt meine Substitution ? wie soll ich nun integrieren
> ?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
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kurze Dgl: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 17.01.2011
Autor: MrMojo

Aufgabe
1. Aufgabe y' = x - y/x

Danke für die Hilfe,

habe soweit verstanden: y' + y/x= 0

dy/y = - dx/x

Das ganze Integriert

ln(y) = - ln(x) +c    /e

y = [mm] -e^x +e^c [/mm]

Um variation der Konstanten einzuleiten setze ich nun [mm] e^c [/mm] als A

y= [mm] A*-e^x [/mm] ??

Nun verwende ich die Produktregel und komme auf

y' = [mm] A*-e^x [/mm] + [mm] A'*-e^x [/mm]

und das y' setze ich dann in die Anfangsbedingung ein + dem zuvor nullgesetzten x ?

Bezug
                        
Bezug
kurze Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Mo 17.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo MrMojo,

> 1. Aufgabe y' = x - y/x
> Danke für die Hilfe,
>
> habe soweit verstanden: y' + y/x= 0
>
> dy/y = - dx/x
>
> Das ganze Integriert
>
> ln(y) = - ln(x) +c /e

Na, erstmal doch [mm]\ln(|y|)=-\ln(|x|)+c[/mm]

>
> y = [mm]-e^x +e^c[/mm] [notok]

Das gibt doch [mm]|y|=e^{-\ln(|x|)+c}=e^{-\ln(|x|)}\cdot{}e^{c}=\frac{1}{|x|}\cdot{}e^c[/mm]

>
> Um variation der Konstanten einzuleiten setze ich nun [mm]e^c[/mm]
> als A [ok]
>
> y= [mm]A*-e^x[/mm] ??

Nein, [mm]y=A\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]

>
> Nun verwende ich die Produktregel und komme auf

Erstmal mache die Konstante von x abh., also

[mm]y(x)=A(x)\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]

Ab hier nochmal neu rechnen ...

>
> y' = [mm]A*-e^x[/mm] + [mm]A'*-e^x[/mm]
>
> und das y' setze ich dann in die Anfangsbedingung ein + dem
> zuvor nullgesetzten x ?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
kurze Dgl: Lösung ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mo 17.01.2011
Autor: MrMojo

Aufgabe
y' = x - y/x

Habe ab hier weitergerechnet

y= A* 1/x

y' = x - (A-x^-1)/x

y' = x- (A/x)/x

y' = x - [mm] A/x^2 [/mm]

Integriert

y = [mm] x^2 [/mm] /2 + A/x

Bezug
                                        
Bezug
kurze Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Mo 17.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> y' = x - y/x
> Habe ab hier weitergerechnet
>
> y= A* 1/x
>
> y' = x - (A-x^-1)/x
>
> y' = x- (A/x)/x
>
> y' = x - [mm]A/x^2[/mm]

Ich kapiere nicht so ganz, was du machst.

Mit [mm]y(x)=A(x)\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] ist zum einen [mm]y'(x)=\red{A'(x)\cdot{}\frac{1}{x}-\frac{A(x)}{x^2}}[/mm]

Zum anderen, wenn du [mm]y(x)=A(x)\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] in die Ausgangsdgl einsetzt:

[mm]y'(x)=x-\frac{\frac{A(x)}{x}}{x}=\red{x-\frac{A(x)}{x^2}}[/mm]

Vergleichst du nun beide roten Ausdrücke für [mm]y'(x)[/mm], so ist [mm]A'(x)\cdot{}\frac{1}{x}=x[/mm]

Also [mm]A'(x)=x^2[/mm]

Nun integrieren, um [mm]A(x)[/mm] zu bestimmen!

>
> Integriert
>
> y = [mm]x^2[/mm] /2 + A/x

Gruß

schachuzipus


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