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kurze Hilfestellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Fr 30.01.2009
Autor: searchgirl

Aufgabe
Auf der Kante AD soll ein Punkt so markiert werden, dass sein Abstand zu B und zu D gleich groß sind. Berechnen Sie die Koordinaten von P.
geg:
A (4/-1/0)
B (2/3/-4)
C (-6/3/0)
D (-4/-1/4)
S (4/9/0)

Hallo erstmal,

also ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter.

Wir wissen das P auf [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] liegen muss, daher hab ich einfach mal die Parameterform für diese Gerade aufgestellt:

[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm]

außerdem gilt:

[mm] |\overline{PB}| [/mm] = [mm] |\overline{PD}| [/mm]
nach der normalen Abstandsformel und Umformungen erhalte ich daraus:

4x-8y+16z-4 =0

So, nun besteht mein Problem darin, dass ich nicht weiß wie ich weiter verfahren soll. Könntet ihr mir evtl. einen Tipp geben.
danke
liebe Grüße



        
Bezug
kurze Hilfestellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Fr 30.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Auf der Kante AD soll ein Punkt so markiert werden, dass
> sein Abstand zu B und zu D gleich groß sind. Berechnen Sie
> die Koordinaten von P.
> geg:
>  A (4/-1/0)
>  B (2/3/-4)
>  C (-6/3/0)
>  D (-4/-1/4)
>  S (4/9/0)
>  Hallo erstmal,
>  
> also ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und komme
> irgendwie nicht weiter.
>  
> Wir wissen das P auf [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] liegen muss, daher
> hab ich einfach mal die Parameterform für diese Gerade
> aufgestellt:
>  
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -1\\0}[/mm] + [mm]r*\vektor{-8\\ 0\\4}[/mm]

Hallo,

das ist schonmal eine gute Idee.

>  
> außerdem gilt:
>  
> [mm]|\overline{PB}|[/mm] = [mm]|\overline{PD}|[/mm]
>  nach der normalen Abstandsformel und Umformungen

Diese Rechnungen wären durchaus interessant, ich weiß nicht genau, was sich dahinter verbirgt.

Poste das doch mal.

Mich irritiert Dein x, y, z.

Ich hätte nur eine Variable, nämlich das r, welches zu dem gesuchten Punkt gehört.

Gruß v. Angela







erhalte

> ich daraus:
>  
> 4x-8y+16z-4 =0
>  
> So, nun besteht mein Problem darin, dass ich nicht weiß wie
> ich weiter verfahren soll. Könntet ihr mir evtl. einen Tipp
> geben.
>  danke
>  liebe Grüße
>  
>  


Bezug
                
Bezug
kurze Hilfestellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 Fr 30.01.2009
Autor: searchgirl

Hey Angela,

vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Also da der Abstand von P zu B gleich dem Abstand von P zu D sein muss, hab ich folgendes gemacht (nach der Formel Abstand von Punkt/Punkt):

[mm] |\overline{PB}| [/mm] = [mm] |\overline{PD}| [/mm]
[mm] \wurzel{(2-x)^2+(3-y)^2+(-4-z)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(-4-x)^2+(-1-y)^2+(4-z)^2} [/mm]
4x-8y+16z =4

Aber nun komme ich leider nicht wirklich weiter
ganz liebe Grüße

searchgirl

Bezug
                        
Bezug
kurze Hilfestellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Fr 30.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Hey Angela,
>  
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>  
> Also da der Abstand von P zu B gleich dem Abstand von P zu
> D sein muss, hab ich folgendes gemacht (nach der Formel
> Abstand von Punkt/Punkt):
>  
> [mm]|\overline{PB}|[/mm] = [mm]|\overline{PD}|[/mm]
>  [mm]\wurzel{(2-x)^2+(3-y)^2+(-4-z)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{(-4-x)^2+(-1-y)^2+(4-z)^2}[/mm]
>  4x-8y+16z =4

Hallo,

ich verstehe: Du hast [mm] \overrightarrow{0P}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] gesetzt und damit weitergearbeitet.

Auf diese Weise schickst Du Dich an, sämtliche Punkte herauszufinden, die von B und D denselben Abstand haben. Das sind ziemlich viele, Dein Ergebnis, welches ich nicht nachgerechnet habe, liefert ja auch  eine komplette Ebene. Das ist ja auch anschaulich klar: die Ebene, die "in der Mitte zwischen den beiden Punkten durchgeht".

Du könntest Dich nun daranmachen herauszufinden, welchen Punkt diese Ebene mit der zuvor von Dir aufgestellten Geraden $ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm] $ gemeinsam hat, also ein passendes r ausrechnen.

---

Ich würde Dir einen etwas anderen Weg vorschlagen. Da der gesuchte Punkt auf der Geraden $ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm] $ liegt, gibt es ja ein passendes [mm] r_1 [/mm] mit [mm] \overrightarrow{0P}= [/mm] $ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ + $ [mm] r_\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm] .

Also ist

[mm] \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0B} [/mm] - [mm] \overrightarrow{0P} =\overrightarrow{0B} [/mm] -$ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ - $ [mm] r_\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4}=... [/mm] , und

[mm] \overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0D} [/mm] - [mm] \overrightarrow{0P} =\overrightarrow{0D} [/mm] -$ [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm] $ - $ [mm] r_\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4}=... [/mm]

Nun die Beträge dieser beiden Vektoren gleichsetzen und direkt das gesucht [mm] r_1 [/mm] errechnen.

Gruß v. Angela






>  
> Aber nun komme ich leider nicht wirklich weiter
>  ganz liebe Grüße
>  
> searchgirl


Bezug
                                
Bezug
kurze Hilfestellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Fr 30.01.2009
Autor: searchgirl

Hallo,

ich bin jetzt mal beide Varianten durchgegangen.

erster Weg:
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] =  [mm] \vektor{4 \\ -1\\0} [/mm]  +  [mm] r\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4} [/mm]

4x-8y+16z =4  [mm] \Rightarrow [/mm] hab ich in eine Parameterform umgewandelt, indem ich mir 3 beliebige Punkte genommen und eingesetzt habe:
Folgende Punkte habe ich erhalten
R [mm] (0/0/\bruch{1}{4}) [/mm]
S (1/2/1)
T [mm] (2/5/\bruch{9}{4}) [/mm]

[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0\\ \bruch{1}{4}} +s*\vektor{1\\ 2\\1}+t*\vektor{2 \\ 5\\ \bruch{9}{4}} [/mm]

dies setzte ich mit meiner 1. Parametergleichung gleich und erhalte für
s = 47
t = -19
r = -(5/8)

und bekomme als Schnittpunkt und damit für P (9/-1/-2,5) heraus. Laut Zeichnung kann dies aber überhaupt nicht stimmen. Also habe ich den zweiten Weg einmal ausprobiert:


[mm] \vektor{2\\ 3\\-4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ 0\\4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4} [/mm]

aber wenn ich weiter umforme erhalte ich entweder keine Lösung oder nur r=0

liebe Grüße

Bezug
                                        
Bezug
kurze Hilfestellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Fr 30.01.2009
Autor: searchgirl

die Parametergeleichung heißt natürlich

$ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0\\ 0\\ \bruch{1}{4}} +s\cdot{}\vektor{1\\ 2\\\bruch{3}{4}}+t\cdot{}\vektor{2 \\ 5\\ \bruch{8}{4}} [/mm] $

Bezug
                                        
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kurze Hilfestellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Fr 30.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> ich bin jetzt mal beide Varianten durchgegangen.
>  
> erster Weg:
>  [mm]\overrightarrow{x}[/mm] =  [mm]\vektor{4 \\ -1\\0}[/mm]  +  
> [mm]r\cdot{}\vektor{-8\\ 0\\4}[/mm]
>
> 4x-8y+16z =4  [mm]\Rightarrow[/mm] hab ich in eine Parameterform
> umgewandelt, indem ich mir 3 beliebige Punkte genommen und
> eingesetzt habe:
>  Folgende Punkte habe ich erhalten
> R [mm](0/0/\bruch{1}{4})[/mm]
>  S (1/2/1)
>  T [mm](2/5/\bruch{9}{4})[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{0\\ 0\\ \bruch{1}{4}} +s*\vektor{1\\ 2\\1}+t*\vektor{2 \\ 5\\ \bruch{9}{4}}[/mm]

Hallo,

Du hast ja jetzt einfach die Ortsvektoren der Punkte S und T als Richtungsvektoren genommen.

Das ist ja nicht richtig. Du mußt doch die "Differenzvektoren" zum Stützvektor  [mm] \overrightarrow{0R} [/mm] verwenden.

Von daher ist's kein Wunder, wenn das Verkehrte herauskommt.


>
> dies setzte ich mit meiner 1. Parametergleichung gleich und
> erhalte für
>  s = 47
>  t = -19
>  r = -(5/8)
>  
> und bekomme als Schnittpunkt und damit für P (9/-1/-2,5)
> heraus. Laut Zeichnung kann dies aber überhaupt nicht
> stimmen. Also habe ich den zweiten Weg einmal ausprobiert:
>  
>
> [mm]\vektor{2\\ 3\\-4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}[/mm] = [mm]\vektor{-8 \\ 0\\4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}[/mm]

Nein, Du darfst die Vektoren nicht gleichsetzen. Es sollen doch nicht die beiden vektoren gleich sein, sondern ihre Beträge, also die Länge.

Gruß v. Angela


>  
> aber wenn ich weiter umforme erhalte ich entweder keine
> Lösung oder nur r=0
>  
> liebe Grüße


Bezug
                                                
Bezug
kurze Hilfestellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Fr 30.01.2009
Autor: searchgirl

bei dem ersten Weg habe ich die Parametergleichung nur falsch aufgeschrieben, es kommt aber das gleiche Ergebnis heraus.


Wenn ich deinen vorgeschlagenen Weg durchrechne komme ich ebenfalls auf r = -5/8

und die Koordinaten des Punktes P sind dann P (9/-1/-2,5)

aber das kann nicht hinkommen, da P außerhalb der Strecke von AD liegt...
bin ein wenig am vwezweifeln.....

Bezug
                                                        
Bezug
kurze Hilfestellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Fr 30.01.2009
Autor: searchgirl

Hey Angela,

vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe alles nochmal gerechnet und es lag wirklich an der falschen Gleichung. Für r = 11/40 kommt P (1,8/-1/1,1) heraus. Könnte gerade die ganze Welt umarmen.
Danke !!!

Liebe Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
kurze Hilfestellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Fr 30.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Wenn ich deinen vorgeschlagenen Weg durchrechne

Hallo,

beachte, daß Du den vektor [mm] \overrightarrow{BP} [/mm] falsch notiert hast.

Gruß v. Angela


komme ich

> ebenfalls auf r = -5/8


Bezug
                                        
Bezug
kurze Hilfestellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Fr 30.01.2009
Autor: angela.h.b.


> und bekomme als Schnittpunkt und damit für P (9/-1/-2,5)
> heraus. Laut Zeichnung kann dies aber überhaupt nicht
> stimmen. Also habe ich den zweiten Weg einmal ausprobiert:
>  
>
> [mm]\vektor{2\\ 3\\-4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}[/mm] = [mm]\vektor{-8 \\ 0\\4} -r*\vektor{-8 \\ 0\\4}[/mm]

Hallo,

daß man die nicht gleichsetzen muß, sondern ihre Beträge habe ich ja schon gesagt, aber wo kommt denn der Vektor [mm] \vektor{2\\ 3\\-4} [/mm]  her?
Bei mir hieße der anders.

Gruß v. Angela

>  
> aber wenn ich weiter umforme erhalte ich entweder keine
> Lösung oder nur r=0
>  
> liebe Grüße


Bezug
                        
Bezug
kurze Hilfestellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Fr 30.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Hey Angela,
>  
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>  
> Also da der Abstand von P zu B gleich dem Abstand von P zu
> D sein muss, hab ich folgendes gemacht (nach der Formel
> Abstand von Punkt/Punkt):
>  
> [mm]|\overline{PB}|[/mm] = [mm]|\overline{PD}|[/mm]
>  [mm]\wurzel{(2-x)^2+(3-y)^2+(-4-z)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{(-4-x)^2+(-1-y)^2+(4-z)^2}[/mm]
>  4x-8y+16z =4

Hallo,

ich bekomme hier ein anderes  Ergebnis, nämlich

-12x-8y+16z =4 .

Das dürfte sich im weiteren Verlauf der Berechnung auswirken.

Gruß v. Angela

>  
> Aber nun komme ich leider nicht wirklich weiter
>  ganz liebe Grüße
>  
> searchgirl


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