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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Sa 27.12.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Bestimme, ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt und bestimme den Grenzwert!
a) [mm] a_n=\wurzel{n+3}-\wurzel{n}
[/mm]
b) [mm] a_n=\bruch{10^n}{n^{10}}
[/mm]
c) [mm] a_{n+1}=a_n/2+2/a_n
[/mm]
d) [mm] a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] |
a) hier habe ich erweitert, es steht dann [mm] \bruch{3}{\wurzel{n+3}+\wurzel{n}}. [/mm] muss ich das dann noch weiter umformen (zb n ausklammern)? oder kann ich gleich schon sagen, dass es gegen 0 geht?
b) hier würde ich sagen, dass der zähler schneller wächst als der nenner, die folge also divergiert. geht das so? wenn nicht, wie "rechne" ich?
c) versteh ich leider gAR nicht, wie sieht denn die folge aus, wenn noch nicht mal [mm] a_n [/mm] gegeben ist??
d) hat jemand eine idee für mich?
gruß und danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gigi!
> a) hier habe ich erweitert, es steht dann
> [mm]\bruch{3}{\wurzel{n+3}+\wurzel{n}}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> muss ich das dann noch weiter umformen (zb n ausklammern)?
> oder kann ich gleich schon sagen, dass es gegen 0 geht?
Ich denke, dass man ab hier schon klar sagen kann, dass dieser Term gegen Null strebt, da ja der Fall [mm] $\bruch{\text{const.}}{\infty}$ [/mm] vorliegt.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gigi!
Hier könnte man z.B. Herrn  de l'Hospital bemühen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gigi!
Weise hier (z.B. mittels vollständiger Induktion) nach, dass diese folge sowhl monoton ist als auch beschränkt ist. Daraus folgt unmittelbar die Konvergenz der Folge.
Den Grenzwert ermittelt man dann über den Ansatz:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ =: \ A$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 27.12.2008 | | Autor: | gigi |
die gedanken mit kvg und beschränktheit beweisen hatte ich ja auch schon, ich verstehe eben nur nicht wie, wenn ich doch nichts über den startwert weiß!
im IA stünde dann [mm] a_2=\bruch{a_1}{2}+\bruch{2}{a_1}
[/mm]
wie kann ich denn hier monotonie und beschränktheit feststellen???
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> die gedanken mit kvg und beschränktheit beweisen hatte ich
> ja auch schon, ich verstehe eben nur nicht wie, wenn ich
> doch nichts über den startwert weiß!
Hallo,
wenn Du nichts über den Startwert weißt, kannst Du den Hals elegant aus der Schlinge ziehen, indem Du die Angelegenheit kurzerhand für jeden möglichen Startwert a untersuchst.
Außer 0 scheint mir da alles infrage zu kommen...
Überlegen müßtest Du Dir, ob Du unterscheiden mußt, ob der Startwert größer oder kleiner als 0 ist, ob es womöglich sogar einen Unterschied macht, ob |a| größer, kleiner oder gleich 2 ist.
Gruß v. Angela
> im IA stünde dann [mm]a_2=\bruch{a_1}{2}+\bruch{2}{a_1}[/mm]
> wie kann ich denn hier monotonie und beschränktheit
> feststellen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gigi!
Führe folgende Partialbruchzerlegung durch:
[mm] $$\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k}+\bruch{B}{k+1}$$
[/mm]
Damit erhältst Du dann eine sogenannte "Teleskopsumme", bei welcher nur noch einige wenige Summanden verbleiben.
Gruß
Loddar
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