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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Fr 04.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Habe folgende Aufgabe gemacht, möchte jedoch mal wissen, ob das so stimmt (auch vom formalen)(bei limes mach ich aber ..., wohin es gehen soll ist nach dem ersten mal klar ;))
Und zwar soll der Grenzwert für
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}(x^{\bruch{5}{log(sin(x))}}) [/mm] bestimmt werden.
Beim Grenzüberganz folgt der unbestimmte Ausdruck [mm] "0^{0}"
[/mm]
Nun forme ich erstmal geschickt um:
[mm] exp(log(x^{\bruch{5}{log(sin(x))}}))
[/mm]
Da die Exponentialfunktion stetig ist, kann ich den Limes vorziehen und betrachte somit den Grenzwert für
[mm] log(x^{\bruch{5}{log(sin(x))}})
[/mm]
Mit einer Rechenregel über den Logarithmus folgt dann:
[mm] \bruch{5}{log(sin(x))} [/mm] * log(x)
Also:
[mm] \bruch{5log(x)}{log(sin(x))}
[/mm]
Nun ist f(x):=5log(x) und g(x):=log(sin(x))
Nun ist [mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{5}{x}}{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}
[/mm]
= [mm] \bruch{5sin(x)}{x*cos(x)}
[/mm]
Beides geht gegen 0, also wieder ein unbestimmter Ausdruck, diesmal der Typ [mm] "\bruch{0}{0}"
[/mm]
Wieder ableiten mit h(x):=5sin(x) und k(x):=x*cos(x)
Nun also:
[mm] \bruch{h'(x)}{k'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{5cos(x)}{cos(x)-x*sin(x)}
[/mm]
Wenn da nun den Grenzübergang macht, ist der Limes gleich 5.
Also:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0+}(x^{\bruch{5}{log(sin(x))}}) [/mm] = [mm] e^{5}$ [/mm] //die Exponentialfunktion von eben darf ich ja nicht vergessen ;)
Stimmt das so?
Ich weiß, dass das viel ist, aber wäre echt dankbar, wenn da mal jemand schaun könnte. Gruß
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> Hallo,
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> Habe folgende Aufgabe gemacht, möchte jedoch mal wissen,
> ob das so stimmt (auch vom formalen)(bei limes mach ich
> aber ..., wohin es gehen soll ist nach dem ersten mal klar
> ;))
>
> Und zwar soll der Grenzwert für
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+}(x^{\bruch{5}{log(sin(x))}})[/mm]
> bestimmt werden.
>
> Beim Grenzüberganz folgt der unbestimmte Ausdruck [mm]"0^{0}"[/mm]
>
> Nun forme ich erstmal geschickt um:
>
> [mm]exp(log(x^{\bruch{5}{log(sin(x))}}))[/mm]
>
> Da die Exponentialfunktion stetig ist, kann ich den Limes
> vorziehen und betrachte somit den Grenzwert für
>
> [mm]log(x^{\bruch{5}{log(sin(x))}})[/mm]
>
> Mit einer Rechenregel über den Logarithmus folgt dann:
>
> [mm]\bruch{5}{log(sin(x))}[/mm] * log(x)
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{5log(x)}{log(sin(x))}[/mm]
>
> Nun ist f(x):=5log(x) und g(x):=log(sin(x))
>
> Nun ist [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{5}{x}}{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{5sin(x)}{x*cos(x)}[/mm]
>
> Beides geht gegen 0, also wieder ein unbestimmter Ausdruck,
> diesmal der Typ [mm]"\bruch{0}{0}"[/mm]
>
> Wieder ableiten mit h(x):=5sin(x) und k(x):=x*cos(x)
>
> Nun also:
>
> [mm]\bruch{h'(x)}{k'(x)}[/mm] = [mm]\bruch{5cos(x)}{cos(x)-x*sin(x)}[/mm]
>
> Wenn da nun den Grenzübergang macht, ist der Limes gleich
> 5.
>
> Also:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+}(x^{\bruch{5}{log(sin(x))}}) = e^{5}[/mm]
> //die Exponentialfunktion von eben darf ich ja nicht
> vergessen ;)
>
> Stimmt das so?
>
> Ich weiß, dass das viel ist, aber wäre echt dankbar, wenn
> da mal jemand schaun könnte. Gruß
>
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
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>
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gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 05.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hab noch eine Frage zu l'Hospital (oder allgemein zur Ableitung), möchte aber dafür jetzt kein neues Thema aufmachen. Also:
Wenn ich [mm] cos^{2}(x) [/mm] gegeben habe und das ableiten möchte, was muss ich dann genau ableiten.
(1) Das ist ja cos(x) * cos(x). Müsste ich das dann mit Produktregel ableiten?
(2) Oder ist cos [mm] x^{2} [/mm] dasselbe? Dann wäre die Ableitung 2x*cos [mm] x^{2}.
[/mm]
Welche der beiden Varianten macht man. xD
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Sa 05.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit [mm] cos^2(x)=cosx [/mm] *cosx hast du recht, [mm] cos(x^2) [/mm] ist was anderes!
du kannst nach der Produktregel ableiten, aber bei [mm] cos^7(x) [/mm] wird das schon schrecklich, besser nach der Kettenregel, [mm] (f^2(x))'=2f(x)*f'(x)
[/mm]
überzeug dich dass bei der Produktregel dasselbe rauskommt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Di 08.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hab noch Fragen zu zwei Aufgaben, passend zum Thema (deswegen auch kein neues Thema). Und zwar:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(cosh(x)-1)^{tan(x)}
[/mm]
Das geht doch gegen [mm] (-1)^{0} [/mm] oder???
Naja, jetzt l'Hospital anwenden (schreibs ohne Limes)
[mm] exp(log(cosh(x)-1)^{tan(x)})
[/mm]
exp(tan(x) * log(cosh(x)-1))
Da exp stetig, darf man den Limes vorziehen (das ist mir aber klar)
Also folgt:
[mm] \bruch{log(cosh(x)-1)}{\bruch{1}{tan(x)}}
[/mm]
Stimmt das soweit?
So, jetzt müsste ich das doch ableiten?
Nur wie leitet man die Ableitung von cosh(x) her?
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Hallo SolRakt,
> Hab noch Fragen zu zwei Aufgaben, passend zum Thema
> (deswegen auch kein neues Thema). Und zwar:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(cosh(x)-1)^{tan(x)}[/mm]
>
> Das geht doch gegen [mm](-1)^{0}[/mm] oder???
Wie kommst du darauf?
Hast du dir den Graphen der Fkt. [mm] $\cosh(x)$ [/mm] mal angesehen?
Offenbar nicht!
Das geht gegen [mm]0^0[/mm]
>
> Naja, jetzt l'Hospital anwenden (schreibs ohne Limes)
>
> [mm]exp(log(cosh(x)-1)^{tan(x)})[/mm]
>
> exp(tan(x) * log(cosh(x)-1))
>
> Da exp stetig, darf man den Limes vorziehen (das ist mir
> aber klar)
>
> Also folgt:
>
> [mm]\bruch{log(cosh(x)-1)}{\bruch{1}{tan(x)}}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja, der Limes für [mm]x\to 0[/mm] dieses Ausdrucks ist zu untersuchen
>
> So, jetzt müsste ich das doch ableiten?
Hast du dich davon überzeugt, dass du auf den obigen Quotienten die Regel von de l'Hôpital auch anwenden darfst?
>
> Nur wie leitet man die Ableitung von cosh(x) her?
Du könntest die Definition hernehmen: [mm]\cosh(x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)[/mm]
Wenn du das ableitest, kommt [mm]\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)=\ldots[/mm] raus.
Das solltest du kennen (und auch wissen!)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Di 08.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Wie kommst du darauf?
Das frag ich mich gerade auch xD
Hmm..also mal die Ableitung.
Ist das also einfach [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}, [/mm] also der sinh?
Steht dann das hier da:
[mm] \bruch{(\bruch{1}{cosh(x)}-1) * 0,5 (e^{x}-e^{-x}}{\bruch{-1}{tan^{2}(x)} * (1+tan^{2}(x)}
[/mm]
Stimmt das soweit? Aber da folgt doch wieder ein unbestimmter Ausdruck?
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Hallo nochmal,
> > Wie kommst du darauf?
>
> Das frag ich mich gerade auch xD
>
> Hmm..also mal die Ableitung.
>
> Ist das also einfach [mm]\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2},[/mm] also der sinh?
Benutze das unbedingt bei den Ableitungen!
>
> Steht dann das hier da:
>
> [mm]\bruch{(\bruch{1}{cosh(x)}-1) * 0,5 (e^{x}-e^{-x}}{\bruch{-1}{tan^{2}(x)} * (1+tan^{2}(x)}[/mm]
Hmm, die Ableitung des Zählers ist doch [mm]\frac{1}{\cosh(x)-1}\cdot{}\sinh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)-1}[/mm]
Die des Nenners ([mm]=\cot(x)[/mm]) ist [mm]-\frac{1}{\sin^2(x)}[/mm]
Insgesamt ergibt sich also [mm]-\frac{\sin^2(x)\cdot{}\sinh(x)}{\cosh(x)-1}[/mm] und das geht wieder gegen einen unbestimmten Ausdruck, nämlich [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Also nochmal ran mit de l'Hôpital.
Wenn ich das richtig sehe, musst du danach noch einmal ran ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 08.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Boah..in der Probeklausur was einfaches und hier sowas xD
Also. Habs nochmal selbst umgeformt und komme auf denselben Bruch. Die Ableitung ist doch folgende (?):
- [mm] \bruch{2sin(x)cos(x)sinh(x)+sin^{2}(x)cosh(x)}{sinh(x)}
[/mm]
So, wie du gesagt hattest (leider stimmt das xD), steht hier wieder ein unbestimmter Ausdruck. Also müsste ich wieder ableiten. Aber wie mache ich das jetzt? Der linke Summand des Zählers hat ja drei relevante Faktoren. Wie soll das da mit der Produktregel gehn??? Oder überseh ich was? Danke vielmals.
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Hallo SolRakt,
> Boah..in der Probeklausur was einfaches und hier sowas xD
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> Also. Habs nochmal selbst umgeformt und komme auf denselben
> Bruch. Die Ableitung ist doch folgende (?):
>
> - [mm]\bruch{2sin(x)cos(x)sinh(x)+sin^{2}(x)cosh(x)}{sinh(x)}[/mm]
>
> So, wie du gesagt hattest (leider stimmt das xD), steht
> hier wieder ein unbestimmter Ausdruck. Also müsste ich
> wieder ableiten. Aber wie mache ich das jetzt? Der linke
> Summand des Zählers hat ja drei relevante Faktoren. Wie
> soll das da mit der Produktregel gehn??? Oder überseh ich
> was? Danke vielmals.
Diesen Summanden aus drei Faktoren
[mm]2sin(x)cos(x)sinh(x)[/mm]
kannst Du mit Hilfe eines Additionstheorems
zu einem Summand aus zwei Faktoren umschreiben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 08.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Habe das Theorem mal nachgeschlagen (danke dafür)
Jetzt hab ich raus:
[mm] \bruch{2cos(2x)sinh(x)+sin(2x)cosh(x)+2sin(x)cos(x)cosh(x)+sin^{2}(x)sin(x)}{cosh(x)}
[/mm]
Und wenn x nun gegen 0 geht, geht dieser Ausdruck gegen 0, aber wegen exp geht das Gesamte gegen 1. Stimmt das?
Ich schau mal, ob ich mit der anderen Aufgabe nun besser zurechtkomme xD
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Hallo SolRakt,
> Habe das Theorem mal nachgeschlagen (danke dafür)
>
> Jetzt hab ich raus:
>
> [mm]\bruch{2cos(2x)sinh(x)+sin(2x)cosh(x)+2sin(x)cos(x)cosh(x)+sin^{2}(x)sin(x)}{cosh(x)}[/mm]
>
> Und wenn x nun gegen 0 geht, geht dieser Ausdruck gegen 0,
> aber wegen exp geht das Gesamte gegen 1. Stimmt das?
Ja, das stimmt.
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> Ich schau mal, ob ich mit der anderen Aufgabe nun besser
> zurechtkomme xD
Gruss
MathePower
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