l'Hospital: Ableitung (II) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{(1+x^2)^{\frac{1}{3}}-(1+x sin x)}{e^{x^2}-1}
[/mm]
Fein. Da kann ich ja in aller Ruhe l'Hospital anwenden und Zähler und Nenner getrennt ableiten.
Ich komme dann auf:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac{2}{3}}} - (sin(x)+x*cos(x))}{2x*e^{x^2}}
[/mm]
In der Musterlösung steht da aber:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{3}(1+x^2)^{-2/3}}{e^{x^2}}
[/mm]
Wie kommen die auf diese Ableitung?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{(1+x^2)^{\frac{1}{3}}-(1+x sin x)}{e^{x^2}-1}[/mm]
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> Fein. Da kann ich ja in aller Ruhe l'Hospital anwenden und
> Zähler und Nenner getrennt ableiten.
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> Ich komme dann auf:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac{2}{3}}} - (sin(x)+x*cos(x))}{2x*e^{x^2}}[/mm]
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> In der Musterlösung steht da aber:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{3}(1+x^2)^{-2/3}}{e^{x^2}}[/mm]
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> Wie kommen die auf diese Ableitung?
>
> Danke.
Hallo,
es gilt folgende Beziehung: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1[/mm].
In unmittelbarer Umgebung von 0 kann man also getrost sin(x) durch x ersetzen. Das vereinfacht hier wesentlich.
Ach so, das ist ja gar nicht nötig. Dein Bestandteil (sin(x)+x*cos(x)) des Zählers der Ableitung wird doch Null, wenn x gegen Null geht. Danach kürzt sich der Faktor 2x weg.
Gruß Abakus
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> Hallo,
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> ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{(1+x^2)^{\frac{1}{3}}-(1+x sin x)}{e^{x^2}-1}[/mm]
[mm] $=-\frac{2}{3}$
[/mm]
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> Fein. Da kann ich ja in aller Ruhe l'Hospital anwenden und
> Zähler und Nenner getrennt ableiten.
>
> Ich komme dann auf:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac{2}{3}}} - (sin(x)+x*cos(x))}{2x*e^{x^2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") hat noch immer den Limes [mm] $-\frac{2}{3}$, [/mm] wie Ersetzen von [mm] $\sin(x)+x\cos(x)$ [/mm] durch die Näherung $2x+o(x)$ (für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$) zeigt.
> In der Musterlösung steht da aber:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{3}(1+x^2)^{-2/3}}{e^{x^2}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") hat den Limes [mm] $\frac{1}{3}$
[/mm]
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