l'Hospital Grenzwert < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{sin(x)} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0, x [mm] \not= [/mm] 0 |
Also ich hab das ganze wie folgt versucht:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm]
= [mm] \bruch{sin(x)-x}{x*sin(x)} [/mm] =: [mm] \bruch{f(x)}{g(x)}
[/mm]
da sowohl Zähler als auch Nenner für x [mm] \to [/mm] 0 gegen 0 gehen, wende ich l'Hospital an:
[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm]
= [mm] \bruch{cos(x)-1}{sin(x)+x*cos(x)} [/mm] mit [mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}} [/mm] erweitern
[mm] =\bruch{cos(x)-1}{x^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{x^{2}}{sin(x)+x*cos(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{cos(x)-1}{x^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{x}{\bruch{sin(x)}{x}+cos(x)}
[/mm]
so an dieser Stell hänge ich fest.
Angeblich konvergiert der letzte teil gegen
- [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{0}{1+1}
[/mm]
Also bei dem 2. Bruch hab ich den Ansatz, dass für x [mm] \to [/mm] 0 folgendes passiert:
x [mm] \to [/mm] 0
[mm] \bruch{sin(x)}{x}+cos(x) \to \bruch{0}{0} [/mm] + 1
aber das sieht auch irgendwie nicht so aus wieder 2. Bruch :-/
danke schonma für die Hilfe!
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> Zeige: [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{sin(x)} \to[/mm] 0 für x [mm]\to[/mm]
> 0, x [mm]\not=[/mm] 0
> Also ich hab das ganze wie folgt versucht:
>
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{sin(x)-x}{x*sin(x)}[/mm] =: [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
>
> da sowohl Zähler als auch Nenner für x [mm]\to[/mm] 0 gegen 0
> gehen, wende ich l'Hospital an:
>
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{cos(x)-1}{sin(x)+x*cos(x)}[/mm]
Hallo,
hier hast Du doch wieder die Situation [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] wende doch einfach erneut l'Hospital an.
Gruß v. Angela
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